代数学演習 I 問題 NO.12

環の直積分解

問題 12.1. (ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ) の元を全て挙げなさい。問題 12.2. (ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ)^{×} の元を全て挙げなさい。問題 12.3. ℤ/12ℤ ≅ ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ であることを示しなさい。問題 12.4. f : ℤ/4ℤ → ℤ/12ℤ を

f([x]_{4}) = [9x]_{12}

で定義する。このとき、 f はうまく定義されて、和と積を保つが、単位

元を保たない (従って本演習では環準同型の仲間には入れない) ことを示しなさい。

問題 12.5 (各 1). 単位元を持つ可換環 R, S の間の写像 f : R → S が和と積を保つとします。このとき、次のことをすべて示しなさい。

(1) e = f(1) は S の巾等元である。 (すなわち、 e^{2} = e.)

(2) S_{1} = eS とおくと、 S_{1} は環である。

(3) f は R から S_{1} への環準同型を定義する。問題 12.6 (各 1). l, m を互いに素な正の整数とし、

f : ℤ/lmℤ → ℤ/lℤ × ℤ/mℤ

を

f([x]_{lm}) = ([x]_{l}, [x]_{m})

で決める。このとき、 (1) f はうまく定義されていることを示しなさい。

(2) f は環準同型であることを示しなさい。

(3) f の核はどうなるか？ ((本問に関しては整数の約数、倍数の基本的な性質を用いても良い。 )

(4) ℤ/lmℤ , ℤ/lℤ × ℤ/mℤ の元の個数をそれぞれ言いなさい。

(5) f([x]_{lm}) = ([1]_{l}, [0]_{m}) を満たす整数 x が存在することを示しなさい。

(6) 上の x にたいして、

x = k_{1}l + 1 = k_{2}m

なる整数 k_{1}, k_{2} が存在することを示し、そのことから、

al + bm = 1

を満たす l, m が存在することの証明を与えなさい。問題 12.7 (各 1).

(1) 123 で割ると 4 あまり、 276 で割ると 7 余るような整数をひとつ挙げよ。

(2) 上記のような整数をすべて求めよ。 (もちろん理由も述べること。 )

(3) 137 で割ると 4 あまり、 251 で割ると 46 余るような正の整数のうち、最小のものを求めよ。

問題 12.8 (各 1).

(1) ℂ[X] のなかの元 f(X) で、 3X で割ると 1 余り、 5X^{2} − 1 で割ると X + 3 余るようなものの例を一つ挙げなさい。

(2) 上のような f(X) を全て求めなさい。