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代数学演習 I 問題 No.12

\fbox{環の直積分解}

問題 12.1   $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) $ の元を全て挙げなさい。

問題 12.2   $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times $ の元を全て挙げなさい。

問題 12.3   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ であることを示しなさい。

問題 12.4   $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$

$\displaystyle f([x]_4)=[9 x]_{12}
$

で定義する。このとき、$ f$ はうまく定義されて、和と積を保つが、単位元を保たない (従って本演習では環準同型の仲間には入れない)ことを示しなさい。

問題 12.5 (各1)   単位元を持つ可換環 $ R,S$ の間の写像 $ f: R\to S$ が和と積を保つとします。 このとき、次のことをすべて示しなさい。
  1. $ e=f(1)$$ S$ の巾等元である。(すなわち、$ e^2=e$ .)
  2. $ S_1=e S$ とおくと、$ S_1$ は環である。
  3. $ f$$ R$ から $ S_1$ への 環準同型を定義する。

問題 12.6 (各1)   $ l,m$ を互いに素な正の整数とし、

$\displaystyle f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/lm{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\...
...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}
$

$\displaystyle f([x]_{lm})=([x]_l,[x]_m)
$

で決める。このとき、
  1. $ f$ はうまく定義されていることを示しなさい。
  2. $ f$ は環準同型であることを示しなさい。
  3. $ f$ の核はどうなるか? ((本問に関しては整数の約数、倍数の基本的な性質を用いても良い。)
  4. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/lm{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/l{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元の個数をそれぞれ言いなさい。
  5. $ f([x]_{lm})=([1]_l,[0]_m)$ を満たす整数 $ x$ が 存在することを示しなさい。
  6. 上の $ x$ にたいして、

    $\displaystyle x= k_1 l +1 =k_2 m
$

    なる整数 $ k_1,k_2$ が存在することを示し、そのことから、

    $\displaystyle a l +b m=1
$

    を満たす $ l,m$ が存在することの証明を与えなさい。

問題 12.7 (各1)  
  1. $ 123$ で割ると $ 4$ あまり、$ 276$ で割ると $ 7$ 余るような整数をひとつ 挙げよ。
  2. 上記のような整数をすべて求めよ。(もちろん理由も述べること。)
  3. $ 137$ で割ると $ 4$ あまり、$ 251$ で割ると $ 46$ 余るような正の整数のうち、 最小のものを求めよ。

問題 12.8 (各1)  
  1. $ {\mathbb{C}}[X]$ のなかの元 $ f(X)$ で、 $ 3 X$ で割ると $ 1$ 余り、 $ 5 X^2-1$ で割ると $ X+3$ 余るような ものの例を一つ挙げなさい。
  2. 上のような $ f(X)$ を全て求めなさい。



2012-01-12