代数学 IB NO.3 要約

今日のテーマ: イデアルとそれによる剰余環、「生成されるイデアル」

環をイデアルで割ることにより、新しい環を作ることが出来る。これは、群を正規部分群で割る操作に似ている。

定義 3.1. R は単位元をもつ環であるとし、 I はその部分集合であるとする。 I が R のイデアルであるとは、次の条件が成り立つときにいう。

(1) I は (R, +) の部分群である。すなわち、 I は R の加・減法について閉じている。

(2) I の元に R の元を右から掛けても左から掛けてもやっぱり I の元になる。すなわち、任意の x ∈ I と任意の r ∈ R について、

rx ∈ I, xr ∈ I

が成り立つ。

例 3.1 (イデアルの例).

(1) 10ℤ は ℤ のイデアルである。

(2) もっと一般に、 n > 0 にたいして、 nℤ は ℤ のイデアルである。

(3) 更に一般に、任意の可換環 R と任意の a ∈ R にたいして、 aR は R のイデアルである。

(4) 任意の環 R に対して、 {0} は R のイデアルである。

「生成される部分環」を扱った時と同じ議論で、次のことが成り立つことがわかる。

補題 3.1. 環 R の部分集合 S が与えられているとする。このとき、 S を含む R のイデアルのうち、最小のものが存在する。 (これを S で生成される R のイデアルといい、 ⟨S⟩_{R-イデアル}とか、 (S) と書く。 )

例 3.2. 環 ℤ のイデアルとして、次のことが成り立つ。 (1) (2) = 2ℤ.

(2) (10) = 10ℤ.

(3) (12, 18) = 6ℤ.

例 3.3. 環 ℚ のイデアルとして、次のことが成り立つ。 (1) (2) = ℚ.

(2) (10) = ℚ.

(3) (12, 18) = ℚ.

上の２つの例を比較すると分かるように、どの環で考えるかが大変重要である。

補題 3.2. R が単位元をもつ環であるとし、 I をそのイデアルとする。このとき、

(1) R に同値関係 ∼ が、次のようにして決まる。

a ∼ b ⇔ a − b ∈ I.

(2) R/ ∼ に、足し算を次のようにして入れる。

ā + b̄ = \overline{a + b} (¯? は ? の ∼ に関するクラスを表す。 )

この足し算はうまく定義されていて、 R/ ∼ はこの足し算について可換群になる。

(3) R/ ∼ に、かけ算を次のようにして入れる。

ā · b̄ = \overline{a · b}

このかけ算はうまく定義されていて、 R/ ∼ はこのかけ算について半群になる。

(4) R/ ∼ は上で定義された足し算、かけざんに関し環をなす。しかも、この環は単位元 ¯1 を持つ。定義 3.2. 上の補題の仮定のもとで、 R/ ∼ に上のような足し算、かけ算を入れて環にしたものを R/I と書き、 R の I による剰余環と呼ぶ。

※レポート問題 (期限：次の講義の終了時まで。 )

問題 3.1. ℤ のイデアル I が 4615 と 1469 を元として含むとき、 13 も I の元であることを示しなさい。

問題 3.2. 環 R = ℤ/(100, 355) における x のクラスを x̄ と書くことにする。このとき、

(1) ℤ の元 x で、 R の中で考えると x̄ = ¯0 が成り立つ例を 5 つあげなさい。

(2) R の中で ¯5 = ¯0 であることを示しなさい。