代数学 IB No.3要約

今日のテーマ: $\fbox{イデアルとそれによる剰余環、「生成されるイデアル」}$

環をイデアルで割ることにより、新しい環を作ることが出来る。これは、群を正規部分群で割る操作に似ている。

定義 3.1

は単位元をもつ環であるとし、

はその部分集合であるとする。

が

のイデアルであるとは、次の条件が成り立つときにいう。

はの部分群である。すなわち、はの加・減法について閉じている。
の元にの元を右から掛けても左から掛けてもやっぱりの元になる。すなわち、任意の $x \in I$ と任意の $r\in R$ について、

$\displaystyle rx\in I , xr \in I$

が成り立つ。

例 3.1 (イデアルの例)

「生成される部分環」を扱った時と同じ議論で、次のことが成り立つことがわかる。

補題 3.1 環の部分集合が与えられているとする。このとき、を含むのイデアルのうち、最小のものが存在する。 (これをで生成されるのイデアルといい、 $\langle S \rangle_{R\text{-イデアル}}$ とか、と書く。)

例 3.2 環 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルとして、次のことが成り立つ。

補題 3.2 が単位元をもつ環であるとし、をそのイデアルとする。このとき、

に同値関係 $\sim$ が、次のようにして決まる。

$\displaystyle a\sim b {\Leftrightarrow} a-b \in I.$
$R/\sim$ に、足し算を次のようにして入れる。

$% latex2html id marker 1102 $\displaystyle \bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b} \quad ($$ $?$ は $?$ の $&sim#sim;$ に関するクラスを表す。 $\displaystyle )$

この足し算はうまく定義されていて、 $R/\sim$ はこの足し算について可換群になる。
$R/\sim$ に、かけ算を次のようにして入れる。

$\displaystyle \bar{a}\cdot \bar{b}=\overline{a \cdot b}$

このかけ算はうまく定義されていて、 $R/\sim$ はこのかけ算について半群になる。
$R/\sim$ は上で定義された足し算、かけざんに関し環をなす。しかも、この環は単位元 $\bar{1}$ を持つ。