代数学 IB NO.5 要約

今日のテーマ《剰余環、素イデアル、極大イデアル》

前回までに、環 R の、そのイデアル I による剰余環について解説した。

x̄ = ȳ⇔x − y ∈ I

なる判定法により R にクラス分けが入ること、 R/I に加法、乗法が代表元のとり方によらずに定まることがポイントであった。たとえば ℤ/11ℤ において、

\overline{153} × \overline{493}

を計算するのに、\overline{153 × 493} を計算してもよいが、\overline{153} = \overline{−1}, \overline{493} = \overline{−2} と代表元を取り換えてから\overline{−1} × \overline{−2} とやっても良いわけである。

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可換環 R と、 R の部分集合 S について、 S を含む R のイデアルのうち最小のものを、 S で生成される R のイデアルといい、 (S) と表すのであった。 S が有限集合の場合には、 ({a_{1}, a_{2}, …, a_{n}}) のことを普通単に (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) と書く。

補題 5.1. 可換環 R の有限部分集合 T = {a_{1}, a_{2}, …, a_{n}} に対して、

(T) = Ra_{1} + Ra_{2} + Ra_{3} + ⋯ + Ra_{n}

(= {∑_{j=1}^{n} c_{j}a_{j}; c_{j} ∈ R})

が成り立つ。

定義 5.1. 可換環 R の元 x が R の零因子であるとは、 xy = 0 かつ y ≠ 0 をみたす R の元 y が存在するときに言う。

定義 5.2. 可換環 R があたえられたとする。

(1) R に 0 以外の零因子がないなら、 R は整域であるという。

(2) R の 0 以外の元が R で可逆であるとき、 R は体であるという。

もちろん、体は必ず整域である。

定義 5.3. 可換環 R のイデアル I (R ≠ I) について、

(1) R/I が整域であるとき、 I は R の素イデアルであるという。 (2) R/I が体であるとき、 I は R の極大イデアルであるという。

これらの名前の由来はもっとあとのほうで述べる。さしあたっては、次の例が重要である。

例 5.1.

(1) ℤ のイデアル {0} は ℤ の素イデアルであるが、極大イデアルではない。

(2) 素数 p があたえられたとき、 ℤ のイデアル pℤ は ℤ の極大イデアルである。

(3) 正の整数 n が素数でないとき、 nℤ は ℤ のイデアルではあるが、素イデアルではない。

定義 5.4. 素数 p が与えられたとき、 ℤ/pℤ は (上の例に述べたように) 元の数が p の体である。この体を 𝔽_{p} と書く。

整域でない環では、今までの「常識」が通用しないことがある:

補題 5.2. 環 R と、その上の一変数多項式 f(X) が与えられているとする。 d = deg(f) (f の次数) とおくとき、

(1) R が整域ならば、 f(r) = 0 をみたす R の元 r は d 個以下である。

(2) R が整域でなければ、 f(r) = 0 をみたす R の元 r が d 個以上存在する場合もある。

(2) の例:

(1) R = ℤ/6ℤ, f(X) = 3X は一次式だが、 0, 2, 4 のどれを代入しても 0 である。

(2) R = ℤ/6ℤ, f(X) = (X − 1)(X − 2) は二次式だが、 1, 2, 4, 5 のどれを代入しても 0 である。

※レポート問題 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 𝔽_{13} = ℤ/13ℤ の、 0 以外の各元について、その逆元をもとめて、

下の表を完成させなさい。

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x^{−1} 1 7  2