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代数学 IB No.6要約

\fbox{今日のテーマ} 《準同型と準同型定理》

前回まで、環と、そのイデアルによる剰余環について述べた。 実は、既存の環とそのイデアルを色々と選ぶことにより、 (実用上、全部と言ってもいいぐらい)多くの環を作ることができる。

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こんどは、それらの環のあいだの関係が気になるところだ。それを述べるために 必要になるのが、環の準同型の考え方である。

定義 6.1  

$ R,S$ はともに(可換とは限らない)環であるとし、$ f:R\to S$ をその間の写像とする。 このとき、$ f$$ R$ から $ S$ への(環)準同型写像であるとは、次の条件が成り立つ ときにいう。

  1. $ f$$ (R,+)$ から $ (S,+)$ への群としての準同型である。すなわち、

    $\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)
$

    が、すべての $ R$ の元 $ a,b$ について成り立つ。
  2. $ f$$ R$ の積を $ S$ の積にうつす。すなわち、

    $\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)
$

    が、すべての $ R$ の元 $ a,b$ について成り立つ。
  3. $ f$ は($ R$ の)単位元を($ S$ の)単位元にうつす。すなわち、

    $\displaystyle f(1_R)=1_S
$

    が成り立つ。

定義 6.2   環のあいだの全単射準同型のことを、(環としての)同型とよぶ。 容易にわかるように、 環のあいだの同型 $ f:R\to S$ が与えられたとき、 $ f$ の逆写像 $ f^{-1}$$ S$ から $ R$ への 同型になる。

群(加法群)についての準同型の知識を使うと、次のことは直ちにわかる。

補題 6.1   環準同型 $ f:R\to S$ について、
  1. $ f(0_R)=f(0_S)$ が成り立つ。
  2. $ f(-a)=-f(a)$ が全ての $ a\in R$ に対して成り立つ。

つぎに、準同型定理の説明にはいる。

定義 6.3   環準同型 $ f:R\to S$ について、 $ f^{-1}(0)(=\{r\in R; f(r)=0\})$ のことを、 $ f$ の核(Kernel)と呼び、 $ \operatorname{Ker}(f)$ で書き表す。

$ f$ の像(Image)とは、通常通り、

$\displaystyle \operatorname{Image}(f)=\{f(r); r\in R\}
$

のことである。

補題 6.2   任意の環準同型 $ f:R\to S$ にたいして、
  1. $ \operatorname{Ker}(f)$$ R$ のイデアルである。
  2. $ \operatorname{Image}(f)$$ S$ の部分環である。

定理 6.1   環準同型 $ f:R\to S$ について、 $ R$ の同値関係 $ \sim_f$

% latex2html id marker 1099
$\displaystyle x \sim_f y \quad {\Leftrightarrow}\quad f(x)=f(y)
$

で定義し、また $ r\in R$ $ R/\operatorname{Ker}(f)$ でのクラスを $ \bar{r}$ とすると、 次のことが成り立つ。
  1. $ x,y\in R$ にたいして、

    % latex2html id marker 1109
$\displaystyle x \sim_f y \quad {\Leftrightarrow}\quad \bar{x}=\bar{y}
$

    が成り立つ
  2. $ f$

    % latex2html id marker 1113
$\displaystyle \bar{f}:R/\operatorname{Ker}(f) \ni \bar{r} \mapsto f(r)\in \operatorname{Image}(f) \qquad (r\in R)
$

    なる同型を誘導する。

代数では群、加群、環、Lie 環など、いろいろなモノについて それぞれ「準同型定理」がなりたつが、それはすべて次の 単純な事実に基づく:

\fbox{
\begin{minipage}{10cm}
写像 $f: X\to Y$\ が与えられたとき、
$f$\ の行き先でわけることによって $X$\ のクラスわけができる。
\end{minipage}}

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限:次の講義の終了時まで。)

(I).
環の準同型 $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [a]_{12} \mapsto [a]_4\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ($ [?]_n$$ ?$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ におけるクラス) を考える。(本当は、$ f$ がうまく定義されていること、 さらに $ f$ が実際に環の準同型であることを 諸君が証明すべきだが、ここではそれは要求しない。) このとき、
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元 $ x$ $ 12$ 個のそれぞれについて、$ f(x)$ を書きなさい。
  2. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元 $ y$ $ 4$ 個のそれぞれについて、 $ f^{-1}(y)$ を書きなさい。

(II).
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [n]_{11}\mapsto [n]_4\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ はうまく定義されて、 環準同型になるだろうか。


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2011-11-10