代数学 IB NO.9 要約

今日のテーマ

《割り算の原理 (ユークリッド環)》前回は余りを許したわり算のできる環

(ユークリッド環) の定義をした。ユークリッド環においては、ユークリッドの互除法が実行できるのであった。

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今回は、前回積み残した命題の証明を行う。さらに、イデアルの包含関係と数の整除の関係、ユークリッドの互除法のイデアル論的な意義について解説する。

定義 9.1. 環 R がユークリッド環であるとは、整列順序集合 W と写像 ρ : R → W ( 「重さ」を調べる写像) があって、次の性質を満たすときに言う

(1) R の元 a の「重さ」 ρ(a) が最小 ⇔ a = 0

(2) R の元 a, b (a ≠ 0) に対して、

b = aq + r, q, r ∈ R, ρ(r) < ρ(a)

となる q, r が存在する。

( 「W が整列集合である」とは、 W は順序集合であって、しかも「W の任意の部分集合 X は最小元を持つ」というときにいう。この定義が難しく感じられる諸君には W = ℕ と思っても初級の段階には充分である。 )

定義 9.2. 環 R のイデアル I が単項イデアルであるとは、ある a ∈ R が存在して、 I = (a) が成り立つときに言う。

R の全てのイデアルが単項イデアルであるとき、 R は単項イデアル環であると言う。定理 9.1. ユークリッド環は単項イデアル環である。

系 9.2. 整数 a, b が与えられているとし、その最大公約数を d とおく。このとき、

al + bm = d

をみたす整数 l, m が存在する。系 9.3. k を体とする。 k 上の多項式 a, b が与えられているとし、その最大公約数を d とおく。このとき、

a(X)l(X) + b(X)m(X) = d(X)

をみたす k 上の多項式 l, m が存在する。定義 9.3. 環 R と a, b ∈ R とにたいして、

(1) a ∈ bR のとき、 a は b の倍元であるといい、 b|a で書き表す。 b を主語として、 b は a の約元であるともいう。

(2) ある u ∈ R^{×} があって、 a = bu をみたすとき、 a と b とは同伴であるという。

命題 9.4. 整域 R の元 a, b にたいして、 (1) (a) ⊂ (b) ⇔ b|a.

(2) a と b が同伴 ⇔ (a) = (b).

一般に、単項イデアル環 R において、 2 つの元 a, b で生成されるイデアル (a, b) は、単項であるから (d) = (a, b) なる d ∈ R が存在するはずである。この d は a, b の最大公約元 (gcd) である。問題 9.1. 5 桁以上の 2 つの数 a, b を具体的に挙げ、その gcd d を互除法を用いて求め、その a, b, d についてイデアルの等式 (a, b) = (d) を一般論によらずに証明せよ。他の人と a, b が重ならないこと、簡単になりすぎないことに留意すること。