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代数学 IB No.12要約

\fbox{今日のテーマ} 逆元といえば、ハイ互除法。

ユークリッド環(余りを許したわり算のできる環) $ R$ においては、 与えられた $ a,b \in R$ にたいし、$ a,b$ の最大公約数 $ d$ が存在し、 互除法により、 $ a l + bm =d$ を満たす $ l,m$ を具体的に求めることが できるのでした。(No.8参照。)

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命題 12.1   $ R$ と、 $ a,b,d \in R$ に対して、次の二条件は同値である。
  1. $ R$ のイデアルの等式 $ (a,b)=(d)$ が成り立つ。
  2. % latex2html id marker 1017
$ al +bm=d \quad (\exists l,m \in R)$ かつ $ d\vert a $ かつ $ d\vert b$ が成り立つ。

単項イデアル整域(PID) $ R$ においては、与えられた $ a,b \in R$ について、 命題 12.1 の二番目の条件を満たす $ (d)$ が存在することに注意。

定理 12.2   PID $ R$ の元 $ a,b$ が互いに素であるとき、 $ R/(a)$ において、$ b$ の同値類 $ [b]_{(a)}$ は逆元を もつ。

実際、$ al+bm=1$ を満たす $ l,m \in R$ が存在する。$ [l]_{(a)}$ が その逆元である。

定義 12.1   $ R_1,R_2$ は環であるとする。このとき、$ R_1,R_2$ の環としての直積 とは、デカルト積集合 $ R_1\times R_2$ の上に、 次のような演算を定義したものである。

% latex2html id marker 1061
$\displaystyle (a,b) + (c,d)=(a+c,b+d), \quad (a,b)\times (c,d)= (ac,bd)
$

$ R_1$$ R_2$ の環としての直積を、普通 $ R_1\times R_2$ と書く。

補題 12.1   $ R_1,R_2$ は環であるとする。このとき、
  1. $ R_1\times R_2$ は環になる。
  2. $ R_1,R_2$ の単位元 がそれぞれ $ 1_{R_1},1_{R_2}$ とすると、 $ R_1\times R_2$ の単位元は $ (1_{R_1},1_{R_2})$ である。
  3. $ R_1,R_2$ がともに可換ならば、 $ R_1\times R_2$ も可換である。

ベクトル空間で基本ベクトルが重要な役割を果たしたように、 環の直積においても、 $ e_1=(1_{R_1},0_{R_2})$ $ e_2=(0_{R_1},1_{R_2})$ が 重要な役割を果たす。関係式

% latex2html id marker 1094
$\displaystyle e_1 +e_2=1,\quad e_1 e_2=0 ,\quad e_1^2=e_1,\quad e_2^2=e_2
$

が成り立つことに注意せよ。 $ e_1,e_2$ は直積の「射影」(もしくは射影元)と呼ばれる。

命題 12.3   $ R$ の元 $ a,b$$ (a,b)=(1) $ を満たすとき、

$\displaystyle R/(a b)\ni [x]_{ab} \mapsto ([x]_a, [y]_b) \ni R/(a) \times R/(b)
$

なる写像は環の同型を与える。

例 12.1 (環の直積分解の具体例)  
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と同型である。
  2. $ {\mathbb{C}}[X]/(X^2-X)$ $ {\mathbb{C}}[X]/(X)\times {\mathbb{C}}[X]/(X-1)$ と同型である。

※三つの環 $ R_1,R_2,R_3$ の直積も二つの場合と同様に定義される。 環 $ (R_1\times R_2)\times R_3$ $ R_1\times R_2\times R_3$ と 同型である。4つ以上でも同様。

古典的な 105 減算は、 同型 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/105{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}...
...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}
$ をもとにしている。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限:次の講義の終了時まで。)

(I).
$ L=2012113$ とおく。このとき、5桁以上の正の整数 $ N(<L)$ を自分できめて、その $ N$ にたいして, $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/L{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において、$ N$ の逆元をもとめよ。

(II).
$ 1000$ で割ると $ 17$ 余り、 $ 1003$ で割ると $ 34$ 余るような整数 $ n$ の例を一つ求めよ(途中の計算はある程度省略してよい。 ただし求めた方法は書いておくこと。)


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2012-01-05