代数学 IA 演習問題 NO.7

剰余集合編 G を群、 H をその部分群とする。このとき、 G に、次のようにして同値関係 ≡_{H} が定まります。

x ≡_{H} y ⇔ ある h ∈ H があって、 xh = y が成り立つ。

この同値関係は群論においてはとくに重要なので、記号 x ≡_{H} y の代わりに、

x ≡ y (mod H)

と書いて、《x は y と H を法として左合同である》と言う事にします。考えている部分群 H が明確なときには、「(mod H)」を書くのは省略して良いです。 x のクラス C(x) を x の H を法とする左剰余類と言います。

定義 7.1. 上のように決めた同値関係 ≡ (mod H) による G の商集合 G/ ≡ を G/H と書き、 G の H による左剰余類集合という。

問題 7.1. ℤ の部分群として、 H = 55ℤ を考えます。このとき、

x ≡ 12 (mod H)

となるような x の例を 5 つ答えなさい。 (なお、答には正の数ばかりでなく負の数も入れること。 )

定義 7.2. n 個のもの 1, 2, 3, …, n の置換全体は群になります。この群を n 次の対称群とよび、 𝔖_{n} と書きます。

問題 7.2.

H = {σ ∈ 𝔖_{3}; σ(3) = 3}

と置きます。 (1) H の元を全て書き出しなさい。

(2) H を法とする同値関係によって、 𝔖_{3} がどのようにクラス分けされるか、クラス分けの表をつくって示しなさい。

(3) 𝔖_{3} の元

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ i & j & k \end{matrix})

が 𝔖_{3} の単位元 e と H を法とする同値関係で同値になるのはいつか、 i, j, k を使って答えなさい。

問題 7.3. 前問で、 𝔖_{3} を 𝔖_{4} に換えて、

H = {σ ∈ 𝔖_{4}; σ(4) = 4}

と置きます。このとき前問と同様な問題に答えなさい。

問題 7.4. n を正の整数とします。

H = {σ ∈ 𝔖_{n}; σ(n) = n}

と置きます。 (1) H は 𝔖_{n−1} と同一視できることを示しなさい。

(2) 𝔖_{n}/H の元の個数を求めなさい。問題 7.5. 有限巡回群 C_{n} = ⟨g_{1}; g_{1}^{n} = e⟩ について考えます。

(1) C_{12} の、 {g_{1}^{3}} によって生成される部分群 H_{1} は何になるか、元を全て挙げることによりいいなさい。

(2) C_{12} の、 {g_{1}^{5}} によって生成される部分群 H_{2} は何になるか、元を全て挙げることによりいいなさい。

(3) C_{12} の、 {g_{1}^{10}} によって生成される部分群 H_{3} は何になるか、元を全て挙げることによりいいなさい。

(4) C_{12}/H_{?} (?=1,2,3) の元の個数を求めなさい。

問題 7.6. C_{20} = ⟨g_{1}; g_{1}^{20} = e⟩ の、 H = ⟨{g_{1}^{4}}⟩ を法とする同値関係によるクラス分けを、クラス分けの表をつくって示しなさい。

問題 7.7. n, l を正の整数とします。 C_{n} の部分群 H を、 H = ⟨{g_{1}^{l}}⟩ により決めます。このとき、 H の元の個数と、左剰余類集合 C_{n}/H の元の個数を求めなさい。

問題 7.8. n を正の整数とします。

H = {σ ∈ 𝔖_{n}; σ(n) = n かつ σ(n − 1) = n − 1}

と置きます。 (1) H は 𝔖_{n−2} と同一視できることを示しなさい。

(2) 𝔖_{n} の二元

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n − 1 & n \\ i_{1} & i_{2} & i_{3} & … & i_{n−1} & i_{n} \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n − 1 & n \\ j_{1} & j_{2} & j_{3} & … & j_{n−1} & j_{n} \end{matrix})

が H を法として同値なのはどういう時ですか？

(3) 𝔖_{n}/H の元の個数を求めなさい。

問題 7.9. (1) ℂ^{×} = {z ∈ ℂ; z ≠ 0} はかけ算に関して群になるこ

とを示しなさい。

(2) H = {z ∈ ℂ; |z| = 1} は ℂ^{×} の部分群になることを示しなさい。 (3) ℂ^{×} は H を法としてどのようにクラス分けされるか、複素平面

を利用して説明しなさい。

問題 7.10. (各 1) 𝔖_{4} の部分群のうち、 {e} や 𝔖_{4} 自身以外のものを挙げなさい。ただし、単なる文字の付け替えは同じものと見なす。

問題 7.11. (各 1) 𝔖_{5} の部分群のうち、 {e} や 𝔖_{4} 自身以外のものを挙げなさい。ただし、単なる文字の付け替えは同じものと見なす。