next up previous
Next: About this document ...

    

����� IA �齬���� No.9

\fbox{��Ʊ����Ʊ����} ����Ĥη�����٤�ˤϡ���Ʊ����Ĵ�٤�Τ����ܤǤ��롣��

��Ʊ���Ȥϡ��黻���ݤļ����λ��Ǥ��롣

��� 9.1   $ G,H$ �򷲤Ȥ��롣$ G$ ���� $ H$ �ؤμ��� $ f:G\to H$ ����Ʊ�������Τˤϡ����Ȥ��� �ν�Ʊ������)�Ǥ���Ȥϡ� Ǥ�դ� $ g_1,g_2\in G$ ���Ф��ơ�

$\displaystyle f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2) $

������Ω�ĤȤ��˸����� ��Ʊ�� $ f$ ����ñ�ͤǤ⤢�����$ f$ ��Ʊ���Ǥ���ȸ�����

���� 9.1   $ n$ �����������Ȥ��ޤ��� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $ f$ ��

$\displaystyle f(k)=nk $

������ȡ�$ f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� ����ˡ������ $ n>1$ �ʤ�Ʊ���ǤϤʤ����Ȥ򼨤��ʤ�������

���� 9.2   $ a,b,n$ �����������Ȥ��ޤ��� $ a{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $ b{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $ f$ ��

$\displaystyle f(k)=nk $

������Ȥ���$ f$ ����Ʊ���ˤʤ�Τ� $ a,b,n$ �δ֤ˤɤΤ褦�ʴط��� �ʤꤿ�ĤȤ����������ʤ�����

���� 9.3   ������ĤΤ��Ȥ򼨤��ʤ�����
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $ n\mapsto n^2$ �Ͻ�Ʊ���ǤϤʤ���
  2. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $ n\mapsto n+1$ ���Ʊ���ǤϤʤ���

��� 9.2   �ʲ��Ǥϡ��ԥ����ͥ�η���

$\displaystyle C_n=\langle g; g^n=e \rangle =\{e, g^{\pm 1},g^{\pm 2},g^{\pm 3},\dots ($ ���$g^n=e$)$\displaystyle ) \} $

�����ˤ˻Ȥ��ޤ������μ��ϡ�$ C_n$ �ϰ�Ĥθ� $ g$ ���������줿���ǡ� $ g$ �� $ g^n=e$ ����ܴط����Ȥ��ƻ��ġפȸ�����̣�Ǥ��� $ g$ �ϡ֥����ͥ�򺸤˰������Ҥͤ�פȸ������ˤ�����ޤ��� (����ե��٥åȤ� ��$ g$ �פˤϤȤ��˰�̣������ޤ��󡣾��ˤ�äƤ� $ h$ ���Ȥ���¾�ε����Ȥ����Ȥ⤢��ޤ��� ) $ C_n$ �Τ��Ȥ򡢿��ؤǤϡ��ְ̿� $ n$ �ν�󷲡פȸ����ޤ���

���� 9.4 (0.5��)   $ C_n$ �ΰ̿�����ʤ�����

���� 9.5   $ n$ �����������Ȥ��ޤ��� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $ C_n=\langle g; g^n=e \rangle $ �ؤμ�����

$\displaystyle f(k)=g^k $

������ȡ�$ f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򤷤ᤷ�ʤ����� ����ˡ������Ʊ���ǤϤʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 9.6  
  1. $ C_6=\langle g; g^6=e \rangle $ �θ������ƽ񤭽Ф��ʤ�����
  2. $ C_4=\langle h; h^4=e \rangle $ �θ������ƽ񤭽Ф��ʤ�����
  3. $ f:C_6 \to C_4$ �� $ f(g^p)=h^{2p}$ ��������ޤ��� ���ΤȤ���$ C_6$ �γƸ��� $ C_4$ �Τɤθ����б����뤫�� ��ǽ񤭽Ф������δ֤�����Ƿ�֤��Ȥˤ�äƼ����ʤ�����

���� 9.7  
  1. $ C_5=\langle g; g^5=e \rangle $ �θ������ƽ񤭽Ф��ʤ�����
  2. $ C_4=\langle h; h^4=e \rangle $ �θ������ƽ񤭽Ф��ʤ�����
  3. $ f:C_5 \to C_4$ �� $ f(g^p)=h^{2p} \underline{( p \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})}$ ��������褦�Ȥ��Ƥ⡢ ���ޤ������ʤ��� ���Τ��Ȥ�$ C_5$ �γƸ��� $ C_4$ �Τɤθ����б����뤫�� ��ǽ񤭽Ф������δ֤�����Ƿ�ܤ��Ȥ��뤳�Ȥˤ�äƼ����ʤ����� ($ g^0=g^5$ �������ա�)

���� 9.8   $ m,n$ �����������Ȥ��ޤ��� $ C_m=\langle g; g^m=e \rangle =$ ���� $ C_n=\langle h; h^n=e \rangle $ �ؤμ�����

% latex2html id marker 1233 $\displaystyle f(g^p)=h^{p} \quad (p\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) $

�����褦�Ȥ��ޤ������ΤȤ���$ f$ ����Ʊ���ˤʤ�ΤϤ��Ĥ��� �����ʤ�����

���� 9.9   $ a,m,n$ �����������Ȥ��ޤ��� $ C_m=\langle g; g^m=e \rangle =$ ���� $ C_n=\langle h; h^n=e \rangle $ �ؤμ�����

% latex2html id marker 1248 $\displaystyle f(g^p)=h^{ap} \quad (p\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) $

�����褦�Ȥ��ޤ������ΤȤ���$ f$ ����Ʊ���ˤʤ�ΤϤ��Ĥ��� �����ʤ�����

���� 9.10   $ G={\operatorname{GL}}(n;$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ ���顢 $ H={\operatorname{GL}}_2(R)$ �ؤμ��� $ f$ ��

$\displaystyle f(A)= \begin{pmatrix} \operatorname{det}(A) & 0 \\ 0 & \operatorname{det}(A)^{-1} \end{pmatrix}$

���������ȡ�$ f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򤷤ᤷ�ʤ�����

��� 9.3   $ f:G\to H$ ����Ĥη��δ֤ν�Ʊ���Ȥ��롣$ f$ �γ� (kernel) �Ȥϡ�$ H$ ��ñ�̸� $ e_H$ �� $ f$ �ε����λ��Ǥ��롣���ʤ����

$\displaystyle \operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(e_H)=\{g\in G; f(g)=e_H\} $

���� 9.11   ���� 9.5 �μ��� $ f$ �γˤ���ʤ�����

���� 9.12   ���� 9.6 �μ��� $ f$ �γˤ���ʤ�����

���� 9.13   ����Ʊ�� $ f:G\to H$ �γˤϰ��̤ˡ�$ G$ ��������ʬ���Ǥ��뤳�Ȥ� �����ʤ�����

���� 9.14   $ f:$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \to {\mathbb{C}}^\times$ �� % latex2html id marker 1318 $ f(x)=\cos(x)+\sqrt{-1}\sin(x)$ ���������ȡ� $ f$ �Ϸ��ν�Ʊ���ˤʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ���������ˡ�$ f$ �γˤ���ʤ����� �������� $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ϼ¿����Τν����­�����DZ黻���᤿���� $ {\mathbb{C}}^\times$ �� 0 �������ʣ�ǿ��ˤ������DZ黻���᤿���Ǥ��롣

���� 9.15   $ {\mathbb{C}}^\times \to {\mathbb{C}}^\times :z\mapsto z^5$ �Ϸ���Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��� ���γˤ򸵤����ƽ�ɽ�����Ȥˤ����ʤ�����������������

% latex2html id marker 1336 $\displaystyle ?(\cos (??)+\sqrt{-1}\sin(??)) $

(�˺�ɸɽ��)�η���ɽ�����뤳�ȡ�

next up previous
Next: About this document ...
2012-06-11