代数学 IA 演習問題 NO.11

準同型定理編今回は、一学期の目標である《群の準同型定理》について出題します。

問題 11.1. ℤ/9ℤ から ℤ/3ℤ への写像 f を

f([n]_{9}) = [n]_{3}

で定めます。このとき、 (1) f は全射準同型写像であることを示しなさい。

(2) f によって ℤ/9ℤ の各元が ℤ/3ℤ のどの元にうつるか？対応表を書き上げることによって示しなさい。

(3) f によって同じもの同士を同じクラスにして ℤ/9ℤ をクラス分けし、クラス分けの表を書きなさい。

(4) Ker f を求めなさい

(5) ℤ/9ℤ を Ker f を法としてクラス分けしなさい。

問題 11.2. ℤ/8ℤ から ℤ/6ℤ への写像 f を

f([n]_{8}) = [3n]_{6}

で定めます。このとき、 (1) f は準同型写像であることを示しなさい。

(2) f の像を求めなさい。

(3) f によって ℤ/8ℤ の各元が ℤ/6ℤ のどの元にうつるか？対応表を書き上げることによって示しなさい。

(4) f によって同じもの同士を同じクラスにして ℤ/8ℤ をクラス分し、クラス分けの表を書きなさい。

(5) f の核を求めなさい

(6) ℤ/8ℤ を Ker f を法としてクラス分けしなさい。

問題 11.3. 有限群 G が一つの元 g で生成されているとき、 G は有限巡回群と同型であることを示しなさい。

問題 11.4. 無限群 G が一つの元 g で生成されているとき、 G は ℤ と同型であることを示しなさい。

問題 11.5.

(1) 20ℤ は 4ℤ の正規部分群であることを示しなさい。

(2) 写像 f : ℤ → ℤ/5ℤ を、 f(x) = [x]_{5} で定義すると、 f は準同型写像になることを示しなさい。

(3) 上の f の核を求め、 4ℤ/20ℤ が ℤ/5ℤ と同型であることを示しなさい。

問題 11.6. m, n はそれぞれ正の整数であるとします。この時、 mℤ/mnℤ は ℤ/nℤ と同型であることを示しなさい。

問題 11.7. 複素数 z に対して、その共役を z̄ であらわします。このとき、

(1) ℂ ∋ z ↦ z̄ ∈ ℂ は複素数全体のなす加法群 (ℂ, +) からそれ自身への同型写像を与えることを示しなさい。

(2) ℂ^{×} ∋ z ↦ z̄ ∈ ℂ^{×} は複素数全体から 0 を除いたもののなす乗法群 (ℂ^{×}, ×) からそれ自身への同型写像を与えることを示しなさい。問題 11.8. 複素数を成分に持つ行列 A = (a_{ij}) に対して、その随伴行列 A^{∗} を、

A^{∗} = (ā_{ji})

で定義します。 (すなわち、 A^{∗} は、 A の転置行列^{t}A の各行列成分についておのおのの複素共役をとったものです。 ) 例えば、

(\begin{matrix}1 & 4 + 5i \\ 2 + 3i & 6 + 7i \end{matrix})^{∗} = (\begin{matrix}1 & 2 − 3i \\ 4 − 5i & 6 − 7i \end{matrix})

と言う具合です。この時、

(1) 複素数を成分に持つ n-次正方行列 (=n×n-行列) 全体を M_{n}(ℂ) と書けば、 M_{n}(ℂ) ∋ A ↦ A^{∗} ∈ M_{n}(ℂ) は行列の加法群 (M_{n}(ℂ), +) からそれ自体への同型写像であることを示しなさい。

(2) 複素数を成分に持つ可逆 n-次正方行列 (=n × n-行列) 全体を GL_{n}(ℂ) と書けば、 GL_{n}(ℂ) ∋ A ↦ (A^{∗})^{−1} ∈ GL_{n}(ℂ) は可逆行列全体のなす乗法群 (GL_{n}(ℂ), ×) (一般線型群と呼ばれる) からそれ自体への同型写像であることを示しなさい。

問題 11.9. 複素数を成分に持つ正方行列 A がユニタリ行列であるとは、 A^{∗}A = I (単位行列)が成り立つ時に言います。さて、ユニタリ行列全体 U(n) は乗法に関して群をなすことを示しなさい。 (U(n) はユニタリ群と呼ばれます。 )

問題 11.10. (1) 写像

det : GL_{n}(ℂ) ∋ A ↦ det(A) ∈ ℂ^{×}

は準同型であることを示しなさい。

(2) det(A^{∗}) = \overline{det(A)} であることを示しなさい。

(3) A がユニタリ行列なら、 | det(A)| = 1 であることを示しなさい。

問題 11.11. f, g はともに群 G から群 H への準同型であるとします。このとき、

K = {x ∈ G; f(x) = g(x)}

は G の部分群であることを示しなさい。 K は G の正規部分群とは限らないことを、実例を挙げて示しなさい。

問題 11.12. 同型

ℝ/ℤ ≅ \{(\begin{matrix}cos(θ) & − sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \end{matrix}); θ ∈ ℝ\}

の存在を示しなさい。

問題 11.13. f : G → G′ が群のあいだの準同型で、 G の正規部分群 N が、 f(N) = {e′} (e′ は G′ の単位元) を満たすならば、準同型 g : G/N → G′ が存在して、 f = gι を満たすことを示しなさい。ただし、ここで、 ι : G → G/N は自然な準同型のこととします。

問題 11.14. T = {z ∈ ℂ; |z| = 1} は ℂ^{×} の正規部分群となり、剰余群 ℂ/T は ℝ^{×} と同型であるということを示しなさい。