線形代数学概論 A NO.6 要約

今日のテーマ行列の演算。単位行列。ゼロ行列。行列の計算 (和、差、積、スカラー倍) は普通の数を計算するのと同

じように計算できる。但し、次のことだけが通常の数と異なるので注意を要する。

(1) サイズに注意。 (a) サイズの異なる行列の和や差は定義されない。

(b) k × l 行列 A と m × n 行列 B との積 AB は l = m のとき

のみ定義される。

(2) 行列の積は可換ではない。すなわち、行列 A と B にたいし、 AB と BA は、一方が定義されるからと言って他方が定義されるとは限らないし、仮に両方が定義されている場合であっても AB = BA とは限らない。

定義 6.1. ベクトル空間 V から同じベクトル空間への線形写像を線形変換という。行と列のサイズが同じであるような行列を正方行列という。

正の整数 n にたいして、 n×n 行列の全体 M_{n,n}(ℝ) のことを、 M_{n}(ℝ) と書く。 M_{n}(ℝ) の元同士はは、いつでも足したり、引いたり、掛けたりできる。 ◎単位行列

ℝ^{n} から ℝ^{n} への恒等写像 id_{V} は線形写像である。対応する行列は

(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & … 0 \\ 0 & 1 & 0 & … 0 \\ 0 & 0 & 1 & … 0 \\ & … \\ & … \\ 0 & 0 & 0 & … 1 \end{matrix})

と、対角に 1 が並ぶ行列である。これを単位行列と言い、 E_{n} とか 1_{n} で書き表す。 ◎ゼロ行列

ℝ^{n} の任意の元 v にたいし、 ℝ^{m} の元 0 (ゼロベクトル) を対応する写像は線形写像である。対応する行列は

(\begin{matrix}0 & 0 & 0 & … 0 \\ 0 & 0 & 0 & … 0 \\ 0 & 0 & 0 & … 0 \\ & … \\ & … \\ 0 & 0 & 0 & … 0 \end{matrix})

と、すべての成分が 0 であるような行列である。これをゼロ行列と言い、 O とか O_{m,n} で書き表す。

単位行列は 1 の、ゼロ行列は 0 の役割を果たす。

◎行列単位

ij 成分のみが 1 で、あとはすべて 0 であるような行列のことを、行列単位といい、 E_{ij} で書き表す。

(a_{ij})_{ij} = ∑_{i,j} a_{ij}E_{ij}

E_{ij}e_{k} = \begin{cases}e_{i} & j = k のとき。 \\ 0 & それ以外の時 \end{cases}

◎クロネッカーのデルタ。

次のような記号を用いると便利であることが多い。 (クロネッカーのデルタ)

δ_{ij} = \begin{cases}1 & i = j のとき。 \\ 0 & それ以外の時 \end{cases}

これを用いると、

E = (δ_{ij})_{ij}
E_{ij}e_{k} = δ_{jk}e_{i}

と、場合分けをいちいち書かずに済む。

問題 6.1. (1) 3 × 3 行列

P = (\begin{matrix}1 & p & q \\ 0 & 1 & r \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

を行列単位 E_{ij} の線形結合として書き表しなさい。 (2) 上の P に対して、

(\begin{matrix}x & y & z \\ a & b & c \end{matrix}) P

を計算しなさい。