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線形代数学概論 A No.7要約

行列 は 普通の数のように、足したり引いたり掛けたりできるのでした。 サイズに気をつけること、積が可環ではないことに注意が必要でした。

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\fbox{今日のテーマ} 行列のブロック区分け

行列をいくつかのブロックに分けて考えることができる。 上手に使えば計算が簡単になる。本日の問題1 を参照のこと

補題 7.1  

$\displaystyle A \begin{pmatrix}
B& C
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
AB& AC
\end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}
P \\
Q
\end{pmatrix}R
=
\begin{pmatrix}
PR \\
QR
\end{pmatrix}$

補題 7.2  

$\displaystyle \begin{pmatrix}
P &
Q
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
R \\
S
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
PR\\
QS
\end{pmatrix}$

命題 7.1  

$\displaystyle \begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
P &...
...nd{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
AP+ BR & AQ + BS\\
CP + DR & CQ+ DS
\end{pmatrix}$

$\displaystyle F_r=
\begin{pmatrix}
E_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}$


◎行列のべき乗、逆行列。

ブロック区分けの威力を知るために、 いくつか言葉を用意しておくことにする。 「逆行列」についてはあとでもっと組織的に研究することになる。

定義 7.1   対角成分以外が 0 で有るような正方行列

$\displaystyle \begin{pmatrix}
a_1 & & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\huge0}}\\
...
...ots& 0 \\
&& \dots \\
&&\dots \\
0 & 0 & 0& \dots & a_{n} \\
\end{pmatrix}$

のことを 対角行列という。

命題 7.2   対角行列の積は容易に計算できる。

$\displaystyle \begin{pmatrix}
a_1 & & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\huge0}}\\
...
... & \\
& &\ddots & & & \\
\smash{\hbox{\huge0}}& & & &a_n b_n
\end{pmatrix}.
$

とくに、

$\displaystyle \begin{pmatrix}a_1 & & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\huge0}}\\ &a_...
...2^k & & & \\ & &\ddots & & & \\ \smash{\hbox{\huge0}}& & & &a_n^k \end{pmatrix}$ (7.1)

$ k=1,2,3,\dots$ に対して成り立つ。 (一般の行列で同じようなことが成り立つとは思わないように。)

上の命題は、ブロック対角化されたような行列についても拡張される。

命題 7.3  

$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (7.2)

$ k=1,2,\dots,$ にたいして成り立つ。

定義 7.2   $ n$ 次正方行列 $ A$ に対して、同じサイズの正方行列 $ B$ で、

$\displaystyle AB=E_n$    and % latex2html id marker 1058
$\displaystyle \qquad BA=E_n
$

を満たすもののことを、$ A$ の逆行列という。

定理 7.4   正方行列 $ A$ の逆行列は一意的である。 すなわち、$ A$ の逆行列は、(存在するかどうかはわからないが、)存在するとすれば 誰がいつどのように見つけてきたものでもおなじである。

定義 7.3   $ A$ の逆行列が存在するとき、その逆行列を $ A^{-1} $ と書く。

$ A$ の逆行列が存在するとき、 $ (A^{-1})^2$ , $ (A^{-1})^3$ , $ (A^{-1})^4$ , $ \dots$ $ A^{-2},A^{-3},A^{-4} \dots$ と 書く。(ついでに、$ A^0=E_n$ と書く。) 通常の数と同じように

$\displaystyle A^{n+m}=A^nA^m
$

$ n,m$ の正負に関わらず 成り立つ。 $ a_1,a_2,\dots, a_n$ のどれも 0 ではないならば、 (7.1) 式が $ k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に対して(すなわち、 正でも負でも)なりたつ。 ( % latex2html id marker 1103
$ \ref{equation:shift}$ ) 式も $ k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に対して成り立つ。

問題が複数あるときにはそのどれか1問を解くこと。

問題 7.1  

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
\end{pmatrix}$

とおく。 $ A^2,A^3,A^4,\dots$ を求めよ。

問題 7.2   $ A \in M_m($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ), C \in M_n($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ),$ $ B \in M_{m,n}($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ とする。このとき

$ P=\begin{pmatrix}
A & B \\
O_{n,m} & C
\end{pmatrix}$ の逆行列を $ A^{-1},B,C^{-1}$ を用いて求めよ。

Hint1:.
逆行列を $ Q=\begin{pmatrix}
X & Y \\
O_{n,m} & Z
\end{pmatrix}$ と仮定して、 $ PQ=E_{n+m}=
\begin{pmatrix}
E_m & O_{m,n} \\
O_{n,m} & E_n
\end{pmatrix} $ を満たすという条件から $ X,Y,Z$$ A,B,C$ を用いて 表わせ。
Hint2:.
行列は交換可能ではないことに注意。

Hint3:.
$ Q$ の候補が見つかったからと言って安心してはいけない。 必ず $ PQ$$ QP$ を計算してその結果を吟味すること。


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2012-11-16