線形代数学概論 A No.8要約

行列 は 普通の数のように、足したり引いたり掛けたりできるのでした。 行列をブロックに区分けすることにより、計算を簡単にすることができる 場合がありました。

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行列の基本変形

定義 8.1 (基本行列)  

$$P_n(ij;c)= E_n+ c E_{ij} \qquad (i\neq j)$$

$$Q_n(i;c)= E_n i c \qquad(c\neq 0)$$

$$R_n(i,j)= E_n i j$$

• この定義の記号は(教科書とは合わせてあるが)、ここだけのものである。
• 上の定義で「列」を「行」に変えても全く同じ行列を得る。
• スペースの関係で、例は一番最後にあげる。"..." を用いた一般の場合の 書き方については、講義か、教科書を参照のこと。

◎ 置換と置換行列

上の $P_n$ は「シフト」の一般化。 $Q_n$ は 対角行列である。 $R_n$ については新しく出てきた。これは「置換行列」と見るのが自然である。 これを説明しよう。

定義 8.2   一般に、 $\{1,2,\dots,n\}$ の順番を並べ替えたものを $n$ 個の元の 置換という。 これは $\{1,2,\dots,n\}$ からそれ自身への全単射 $\sigma$ をあたえて、 $(\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(n))$ という並びを 考えるというのと同じ事である。そこで、以下では置換と言えばそのような $\sigma$ のことであると考えることにする。

定義 8.3   $n$ 個の元の置換 $\sigma$ にたいし、

$$P_\sigma= \begin{pmatrix} \mathbf e_{\sigma(1)} &\mathbf e_{\sigma(2)} &\dots &\mathbf e_{\sigma(n)} \end{pmatrix}$$

なる行列のことを $\sigma$ に対応する置換行列と呼ぶ。

定義 8.4   $i,j\in \{1,2,\dots,n\}$ $(i\neq j)$ に対し、$i$ と $j$ を入れ替えるような 置換のことを($i$ と $j$ の)互換 とよび、$(i\ j)$ で書き表す。 すなわち、$(i\ j)$ とは、次のような置換 $\tau$ のことである。

$$\tau(k)= \begin{cases} j & \text{ ($k=i$ のとき)}\\ i & ... ...��とき)}\\ k & \text{ (上記以外のとき。} \end{cases}$$

置換行列の言葉を用いれば、$R_n(ij)$ は互換 $(i\ j)$ に対応する置換行列と 言うことになる。

◎右基本変形

与えられた行列 $A$ (正方行列と限らない) にたいし、 基本行列(これは正方行列)を右からいくつかかけることにより、$A$ と同じサイズの新しい行列を作ることができる。 この操作を右基本変形という。

右基本変形は、基本ベクトルの行き先をみることで理解することができる。

命題 8.1   $A$ を $m\times n$ 行列($m$ 行 $n$ 列の行列)とするとき、

1. $A P_n(i,j;c)$ は $A$ の $i$ 列の $c$ 倍を $A$ の $j$ 列に加えた行列である。
2. $A Q_n(i; c)$ は $A$ の $j$ 列を $c$ 倍した行列である。
3. $A R_n(i,j)$ は $A$ の $i$ 列と $j$ 列を入れ替えた行列である。

次のことも基本的である。

命題 8.2   基本変形は可逆な操作である。 それに呼応して、基本行列は可逆な行列である。

「大抵の」正方行列 $A$ は右基本変形を連続して行うことにより単位行列 $E_n$ に 変形できる。つまり、基本行列 $Y_1,Y_2,\dots, Y_s$ があって、

$$A Y_1 Y_2 Y_3 \dots Y_s =E_n.$$

そこで $B= Y_1 Y_2 Y_3 \dots Y_s$ とおけば、$AB=E_n$ である。$B$ は逆行列を持つので、 $B$ が $A$ の逆行列であることがわかる。 つまり、$A$ にどんな右基本変形をすれば $E_n$ になるかを詳細に記録すれば、 $A$ の逆行列が計算できる。右基本変形をいちいち記録しておくのは面倒である。 次のようなトリックを用いるとよい。

命題 8.3   $n$ 次正方行列 $A$ にたいして、それを $E_n$ の上に積み上げた行列

$$\hat A= \begin{pmatrix} A \\ E_n \end{pmatrix}$$

を考える。もし、$\hat A$ に右基本変形を繰り返して"上の部分"が $E_n$ , すなわち

$$\begin{pmatrix} E_n \\ B \end{pmatrix}$$

のかたちとなったとすると、"下の部分"の $B$ の部分が $A$ の逆行列である。

問題 8.1   $x,y,z$ はどの２つも相異なるような実数とする。このとき、

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{pmatrix}$$

に基本変形を繰り返して $E_3$ に変形せよ。(余力があれば、 $A$ の逆行列をもとめよ。)

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例 8.1 ($n=3$ の基本行列)  

$$P_3(1,2;c)= \begin{pmatrix}1 & c & 0... ... P_3(2,3;c)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} ,$$ 他に成分が下半分にくるタイプももちろんあるが、 スペースの関係で省略する。 

$$Q_3(1,c)= \begin{pmatrix}c & 0 & 0 \... ...quad Q_3(3;c)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} ,$$

$$R_3(1,2)= \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \... ...quad R_3(2,3)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$