線形代数学概論 A NO.9 要約

行列に基本行列を右から掛けることにより、行列を変形できるのでした。右基本変形を駆使することで、行列の逆行列を計算できます。

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今日のテーマ行列の基本変形

P_{n}(ij; c) = E_{n} + cE_{ij} (i ≠ j)
Q_{n}(i; c) = (E_{n} の i 列を c 倍した行列) (c ≠ 0)
R_{n}(i, j) = (E_{n} の i 列と j 列を入れ替えた行列)

◎右基本変形

与えられた行列 A (正方行列と限らない) にたいし、基本行列 (これは正方行列) を右からいくつかかけることにより、 A と同じサイズの新しい行列を作ることができる。この操作を右基本変形という。

右基本変形は、基本ベクトルの行き先をみることで理解することができる。

命題 9.1 (再). A を m × n 行列 (m 行 n 列の行列) とするとき、

(1) AP_{n}(i, j; c) は A の i 列の c 倍を A の j 列に加えた行列である。

(2) AQ_{n}(i; c) は A の j 列を c 倍した行列である。

(3) AR_{n}(i, j) は A の i 列と j 列を入れ替えた行列である。というわけで、これらを列基本変形とも言う。

例題 9.1. x, y, z はどの２つも相異なるような実数とする。このとき、

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{matrix})

に基本変形を繰り返して E_{3} に変形せよ。 (余力があれば、 A の逆行列をもとめよ。 )

上の命題 9.1 と同様に、次の命題を証明することができる。

命題 9.2. A を m × n 行列 (m 行 n 列の行列) とするとき、

(1) P_{m}(i, j; c)A は A の i 行の c 倍を A の j 行に加えた行列である。

(2) Q_{m}(i; c) は A の j 行を c 倍した行列である。

(3) R_{m}(i, j)A は A の i 行と j 行を入れ替えた行列である。 (これらを行基本変形という。 )

{基本行列を左右どちらからかけたかを選ぶことが、列か、行どちらか \atop を変形するのを選んでいることになる。}

ということは覚えておくと良い。

左、右基本変形を繰り返すことにより、行列をより簡単な形にしたい。つぎの方針が考えられる。 (方針 1) 右基本変形のみを繰り返して簡単にする。 (方針 2) 左基本変形のみを繰り返して簡単にする。 (方針 3) どちらもごちゃまぜに使って簡単にする。

\underline{どの方針をとっているかを意識することが大事である。}

前回は、 (方針 1) で考えたのであった。 (方針 2) は (方針 1) と似たようなことになる。今回は、 (方針 3) で考えてみよう。

線形代数学概論 A NO.9 要約

定義 9.1. m, n 行列

F (r) = F_{m,n}(r) = (\begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

を、両側基本変形の標準形の行列と呼ぶ。命題 9.3. 任意の m, n 行列 A は、うまく両側基本変形すれば、両側基本変形の標準形の行列に変形できる。

いちいち「両側」と断るのは面倒なので、その内に略すことにするが、今回は念のためつけておくことにする。

例題 9.2.

(\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})

を両側基本変形し、標準形に直しなさい。例題 9.3.

(\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})

を両側基本変形し、標準形に直しなさい。問題 9.1.

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})

を両側基本変形し、標準形に直しなさい。