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線形代数学概論 A No.9要約

行列に基本行列を右から掛けることにより、行列を 変形できるのでした。 右基本変形を駆使することで、行列の逆行列を計算できます。

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\fbox{今日のテーマ} 行列の基本変形

  % latex2html id marker 859
$\displaystyle P_n(ij;c)= E_n+ c E_{ij} \qquad (i\neq j)$    
  $\displaystyle Q_n(i;c)=$   ($ E_n$$ i$ 列 を $ c$ 倍した行列)% latex2html id marker 867
$\displaystyle \qquad(c\neq 0)$    
  $\displaystyle R_n(i,j)=$   ($ E_n$$ i$ 列と $ j$ 列を入れ替えた行列)    

◎右基本変形

与えられた行列 $ A$ (正方行列と限らない) にたいし、 基本行列(これは正方行列)を右からいくつかかけることにより、$ A$ と同じサイズの新しい行列を作ることができる。 この操作を右基本変形という。

右基本変形は、基本ベクトルの行き先をみることで理解することができる。

命題 9.1 (再)   $ A$$ m\times n$ 行列($ m$$ n$ 列の行列)とするとき、
  1. $ A P_n(i,j;c)$$ A$$ i$ 列の $ c$ 倍を $ A$$ j$ 列に加えた行列である。
  2. $ A Q_n(i; c) $$ A$$ j$ 列を $ c$ 倍した行列である。
  3. $ A R_n(i,j)$$ A$$ i$ 列と $ j$ 列を入れ替えた行列である。

というわけで、これらを列基本変形とも言う。

例題 9.1   $ x,y,z$ はどの2つも相異なるような実数とする。このとき、

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
x & y & z \\
x^2 & y^2 & z^2
\end{pmatrix}$

に基本変形を繰り返して $ E_3$ に変形せよ。(余力があれば、 $ A$ の逆行列をもとめよ。)

上の命題 9.1と同様に、 次の命題を証明することができる。

命題 9.2   $ A$$ m\times n$ 行列($ m$$ n$ 列の行列)とするとき、
  1. $ P_m(i,j;c)A$$ A$$ i$ 行の $ c$ 倍を $ A$$ j$ 行に加えた行列である。
  2. $ Q_m(i; c) $$ A$$ j$ 行を $ c$ 倍した行列である。
  3. $ R_m(i,j) A$$ A$$ i$ 行と $ j$ 行を入れ替えた行列である。

(これらを行基本変形という。)

\fbox{
\begin{minipage}{30pc}
基本行列を左右どちらからかけたか...
...ちらかを変形するのを選んでいることになる。
\end{minipage}} ということは覚えておくと良い。

左、右基本変形を繰り返すことにより、行列をより簡単な形にしたい。 つぎの方針が考えられる。

(方針1).
右基本変形のみを繰り返して簡単にする。
(方針2).
左基本変形のみを繰り返して簡単にする。
(方針3).
どちらもごちゃまぜに使って簡単にする。

どの方針をとっているかを意識することが大事である。

前回は、(方針1)で考えたのであった。 (方針2)は(方針1)と似たようなことになる。 今回は、(方針3)で考えてみよう。

定義 9.1   $ m,n$ 行列

$\displaystyle F(r)=F_{m,n}(r)
=
\begin{pmatrix}
E_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}$

を、両側基本変形の標準形の行列と呼ぶ。

命題 9.3   任意の $ m,n$ 行列 $ A$ は、うまく両側基本変形すれば、 両側基本変形の標準形の行列に変形できる。

いちいち「両側」と断るのは面倒なので、その内に略すことにするが、 今回は念のためつけておくことにする。

例題 9.2  

$\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix}$

を両側基本変形し、標準形に直しなさい。

例題 9.3  

$\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix}$

を両側基本変形し、標準形に直しなさい。

問題 9.1  

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}$

を両側基本変形し、標準形に直しなさい。


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2012-11-16