線形代数学概論 A No.11要約

行列 $A$ の分解 $A=P F_{m,n}(r)Q$ は 「どのベクトルを活かすか」、「どのベクトルは潰すか」を 決めていると考えることができるのでした。 $A:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ の定義域 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ のうち、$r$ 個(の一次独立な)ベクトルが 生き残り、残りの $k=n-r$ 個(の一次独立な)ベクトルが潰れます。 (等式 $n=k+r$ は「次元定理」として知られています。)

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正則行列とその逆行列。

命題 11.1   正方行列 $A\in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ が正則であることは $A$ の両側基本変形に関する 標準形が $E_n$ であることと同値であり、これはまた $A$ の階数が $n$ (つまり $A$ のサイズ)と等しいこととも同値である。

命題 11.2   正方行列 $A$ が正則ならば、それは基本行列のいくつかの(有限個の)積として 書き表せる。

正方行列 $A$ の逆行列を求めるには、つぎの3つの方針がある。

1. $\begin{pmatrix}A \\ E \end{pmatrix}$ に列基本変形をおこなって、 上側が単位行列に等しくなった時の下側を見る。
2. $\begin{pmatrix}A& E \end{pmatrix}$ に行基本変形をおこなって、 左側が単位行列に等しくなった時の右側を見る。
3. $\begin{pmatrix}A& E \\ E & 0 \end{pmatrix}$ に、 上 $n$ 行まで、左 $n$ 列までに限定して。両側基本変形をおこなう。

最後のやり方は少し凝っている。教科書のp.55表による処理も参照のこと。

逆行列は連立方程式を解くのにも使える。

例 11.1   連立方程式

$$\left \{ \begin{aligned} &x + y=10 \\ &2 x + 4 y =34 \end{aligned}\right .$$

を解け。

(答)

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 10 \\ 34 \end{pmatrix}$$

を満たす $x,y$ を探せばよい。両辺に $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列を左からかけて、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2... ...}\begin{pmatrix} 10 \\ 34 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}.$$

◎連立方程式と行基本変形。 上の例の方程式を解くには、(高校時代の言葉では)「加減法」を用いれば 良いのであった。

ここでは、(教科書に合わせて)線形方程式の基本変形という言葉を用いることにする。 じつは、線形方程式の基本変形は行列の左基本変形(行基本変形）と対応する.

例11.1のように解がひとつだけ決まるような 連立方程式は気持ちがいいが、解が複数あったり、ひとつもなかったりするような 方程式も扱う必要が生じる。 たとえば、ベクトルの一次従属性を判定するためにも必要になるのであった (No.3参照)。 具体的には、 ベクトル

$$\mathbf v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix},\mathbf v_... ...\\ 4 \\ \end{pmatrix}, \mathbf v_4= \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ \end{pmatrix}$$

の一次従属性を判定するためには、

$$\left \{ \begin{aligned} &\phantom{1}c_1 \phantom{+ 0 c_2}+ 3 c_3 + 5c_4 =0\\ &2 c_1 + c_2 +4 c_3 + 6c_4=0 \end{aligned}\right .$$

という方程式を解くのであった。

このような方程式についても、基本変形について議論できる。詳しくは次回(の予定。)

問題 11.1   以下の２つの問に答えなさい。

1. 行列
   $$A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$$
   の逆行列を求めよ。行基本変形、列基本変形の いずれを用いても良いが、求め方も明記すること。
2. 連立方程式
   $$\left \{ \begin{alignedat}{5} &x&+ &y&+ &z&+ & w &=1\\ &x&+... ...& & & &=3\\ 3&x&+ &y&+ 2 &z&+ & w &=4\\ \end{alignedat}\right.$$
   を前問の逆行列を用いてとけ。