線形代数学概論 A NO.12 要約

行列 A の分解 A = P F_{m,n}(r)Q は「どのベクトルを活かすか」、「どのベクトルは潰すか」を決めていると考えることができるのでした。正則行列 P の逆行列は (P E) の行基本変形で求めることができるのでした。

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今日のテーマ連立一次方程式と基本変形

命題 12.1. 縦ベクトル v_{1}, …, v_{n} ∈ ℝ^{m} と、これらを並べた行列 A = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ M_{m,n}(ℝ) を考える。このとき、 v_{1}, …, v_{n} が一次従属であることは、 Aw = 0 を満たすような w ∈ ℝ^{n} で、 0 とは異なるようなものが存在することである。

一般に、 A ∈ M_{m,n}(ℝ) に対して Aw = 0 となるような w の全体を A の核といい、 Ker(A) で表す。 A の核は ℝ^{n} の線形部分空間であることが容易に分かる。行列の核は行列を調べる際に基本になる。 A の核を求めるのは斉次型 (つまり、定数項のない) 連立一次方程式

\{ \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = 0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = 0 \\ … \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = 0 \end{matrix}

を解くのと同じことである。

命題 12.2. 正則行列 P ∈ M_{n}(ℝ) の列ベクトルを p_{1}, p_{2}, …, p_{n} と書くとこれら n 個のベクトルは一次独立である。

(※) 転置行列。

行列 A = (A_{ij})_{ij} ∈ M_{m,n}(ℝ) の行と列をひっくり返してできる行列、すなわち (A_{ji})_{ij} のことを A の転置行列といい、^{t}A で書き表す。たとえば、

t (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix})

などという具合。転置行列は次の性質を持つ

t(A + B) = ^{t}A +^{t}B, ,^{t}(cA) = cc^{t}A^{t}(CD) = ^{t}D +^{t}C,

(A, B, C, D は上の式が意味を持つようなサイズの行列。 c はスカラー。 )

転置行列を用いることにより、

行 ↔列
行列を左から掛ける↔行列を右から掛ける
左基本変形↔右基本変形

等々がそれぞれ入れ替わる。つまり一種の対称性があって、転置行列を考えることにより、行基本変形に関する議論を列基本変形の議論に変換したり、その逆ができる。これを用いると思考と鉛筆の節約ができる。たとえば、次の系が上の命題から従う。

系 12.1. 正方行列 P の行ベクトルも一次独立である。 ◎ (非斉次) 連立一次方程式一般に、連立方程式

\{ \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ … \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{matrix}

を解くことを考えよう。これは、 A = (a_{ij}), x = (x_{j}), b = (b_{i}) と書けば、

Ax = b

という方程式を解くのと同じことである。行列 A のことを上の方程式の係数行列とよぶ。 b は定数項、というわけだが、２つをまとめて、

(A b)

という行列を考えると少しだけ便利である。 (変数を書くのがサボれる。 ) この行列のことを上の方程式の拡大係数行列と呼ぶ。

今回は上の方程式を行基本変形のみを用いて解いてみよう。

例 12.1.

\{ \begin{matrix}x + 2y + 3z + 4w = b_{1} \\ 5x + 6y + 7z + 8w = b_{2} \\ 9x + 18y + 11z + 12w = b_{3} \end{matrix}

を解いてみよう。拡大係数行列は行基本変形を行うと、次のような具合になる。

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & | & b_{1} \\ 5 & 10 & 7 & 8 & | & b_{2} \\ 9 & 18 & 11 & 12 & | & b_{3} \end{matrix}) → (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & | & b_{1} \\ 0 & 0 & −8 & −12 & | & b_{2} − 5b_{1} \\ 0 & 0 & −16 & −24 & | & b_{3} − 9b_{1} \end{matrix})

→ (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & | & b_{1} \\ 0 & 0 & −8 & −12 & | & b_{2} − 5b_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & b_{1} − 2b_{2} + b_{3} \end{matrix}) → (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & | & b_{1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5b_{1}−b_{2}}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & b_{1} − 2b_{2} + b_{3} \end{matrix})

最後の行列は階段行列になっている。行基本変形ではここらあたりまでし

か変形できないが、方程式の解を求めるにはこれでも間に合う。すなわち、与え

られた方程式は b_{1} − 2b_{2} + b_{3} = 0 が成り立つ場合にのみ解を持ち、そ

の場合の解は ( 「階段」の角にあたる 1 の係数の x, z を他の変数で芋づる式に表すことにより、 )

(\begin{matrix}x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) = (\begin{matrix}−2t − \frac{1}{2}u + \frac{−7b_{1}+3b_{2}}{8} \\ t \\ −\frac{3}{2}u + \frac{5b_{1}−b_{2}}{8} \\ u \end{matrix} ) (t, u ∈ ℝ)

である。

問題 12.1. 連立方程式

\{ \begin{matrix}x & + & y & + & z & + & w & = 1 \\ − & x & − & y & +4 & z & + & 5 & w & = 1 \\ 2 & x & +2 & y & +3 & z & + & w & = −2 \\ 3 & x & +3 & y & +2 & z & + & w & = 1 \end{matrix}

を拡大係数行列の行基本変形を利用してとけ。