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線形代数学概論 A No.12要約

行列 $ A$ の分解 $ A=P F_{m,n}(r)Q$ は 「どのベクトルを活かすか」、「どのベクトルは潰すか」を 決めていると考えることができるのでした。 正則行列 $ P$ の逆行列は % latex2html id marker 912
$ (P\quad E)$ の行基本変形で求めることが できるのでした。

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\fbox{今日のテーマ}

連立一次方程式と基本変形

命題 12.1   縦ベクトル $ \mathbf v_1,\dots, \mathbf v_n \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^m$ と、 これらを並べた行列 $ A=( \mathbf v_1,\dots, \mathbf v_n )\in M_{m,n}($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ を 考える。このとき、 $ \mathbf v_1,\dots, \mathbf v_n $ が一次従属であることは、 $ A \mathbf w=\mathbf 0$ を満たすような $ \mathbf w \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ で、 $ \mathbf 0$ とは異なるようなものが存在することである。

一般に、 $ A\in M_{m,n}($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ に対して $ A \mathbf w=\mathbf 0$ となるような $ \mathbf w$ の全体を $ A$といい、 $ \operatorname{Ker}(A)$ で表す。 $ A$ の核は $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ の線形部分空間であることが 容易に分かる。行列の核は行列を調べる際に基本になる。 $ A$ の核を求めるのは斉次型(つまり、定数項のない)連立一次方程式

\begin{equation*}
% latex2html id marker 957\left \{
\begin{aligned}
&a_{11} x...
...{m1} x_1 + a_{m2} x_2+ \dots +a_{mn} x_n=0
\end{aligned}\right.
\end{equation*}

を解くのと同じことである。

命題 12.2   正則行列 $ P\in M_n($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ の列ベクトルを $ \mathbf p_1,
\mathbf p_2,
\dots,\mathbf p_n$ と書くとこれら $ n$ 個のベクトルは一次独立である。

(※) 転置行列。

行列 $ A=(A_{ij})_{ij} \in M_{m,n}($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ の行と列をひっくり返してできる行列、 すなわち $ (A_{ji})_{ij}$ のことを $ A$ の転置行列といい、$ {}^t A$ で書き表す。 たとえば、

$\displaystyle {}^t
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5\\
3 & 6
\end{pmatrix}$

などという具合。 転置行列は次の性質を持つ

% latex2html id marker 984
$\displaystyle {}^t (A+B) ={}^t A + {}^t B, \quad ,
{}^t(c A)=c c {}^t A
{}^t (CD) ={}^t D + {}^t C,
$

($ A,B,C,D$ は上の式が意味を持つようなサイズの行列。$ c$ はスカラー。) 転置行列を用いることにより、

$\displaystyle \leftrightarrow$      
行列を左から掛ける $\displaystyle \leftrightarrow$   行列を右から掛ける    
左基本変形 $\displaystyle \leftrightarrow$   右基本変形    

等々がそれぞれ入れ替わる。つまり一種の対称性があって、 転置行列を考えることにより、行基本変形に関する議論を列基本変形の議論に 変換したり、その逆ができる。 これを用いると思考と鉛筆の節約ができる。たとえば、次の 系が上の命題から従う。

系 12.1   正方行列 $ P$ の行ベクトルも一次独立である。

◎(非斉次)連立一次方程式 一般に、 連立方程式

\begin{equation*}
% latex2html id marker 1000\left \{
\begin{aligned}
&a_{11} ...
...1} x_1 + a_{m2} x_2+ \dots +a_{mn} x_n=b_m
\end{aligned}\right.
\end{equation*}

を解くことを考えよう。これは、 $ A=(a_{ij})$ , $ \mathbf x=(x_j)$ , $ \mathbf b=(b_i)$ と書けば、

$\displaystyle A \mathbf x= \mathbf b
$

という方程式を解くのと同じことである。 行列 $ A$ のことを上の方程式の係数行列とよぶ。$ \mathbf b$ は定数項、 というわけだが、2つをまとめて、

$\displaystyle (A \ \mathbf b)
$

という行列を考えると少しだけ便利である。(変数を書くのがサボれる。)この行列のことを上の方程式の 拡大係数行列と 呼ぶ。

今回は上の方程式を行基本変形のみを用いて解いてみよう。

例 12.1  

\begin{equation*}
\left \{
\begin{aligned}
&\phantom{1} x + \phantom{0}2 y + \p...
... w =b_2 \\
&9 x + 18 y +11 z +12 w = b_3
\end{aligned}\right.
\end{equation*}

を解いてみよう。拡大係数行列は 行基本変形を行うと、次のような具合になる。

  $\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \vert & b_1 \\ 5 & 10 & 7 & 8 & \v...
... & -12 & \vert& b_2-5 b_1 \\ 0& 0 & -16 & -24 &\vert& b_3 - 9 b_1 \end{pmatrix}$    
$\displaystyle \to$ $\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \vert & b_1 \\ 0 & 0 & -8 & -12 & ...
...rt& \frac{5 b_1-b_2}{8} \\ 0& 0 & 0 & 0 &\vert& b_1 - 2 b_2 + b_3 \end{pmatrix}$    

最後の行列は階段行列になっている。 行基本変形ではここらあたりまでしか変形できないが、 方程式の解を求めるにはこれでも間に合う。 すなわち、与えられた方程式は $ b_1-2b_2+b_3=0$ が成り立つ場合にのみ解を持ち、 その場合の解は (「階段」の角にあたる$ 1$ の係数の $ x,z$ を他の変数で芋づる式に 表すことにより、)

% latex2html id marker 1032
$\displaystyle \begin{pmatrix}
x \\ y \\ z \\ w
\en...
...\\ t
\\ -\frac{3}{2} u + \frac{5 b_1-b_2}{8} \\ u
\end{pmatrix}\qquad (t,u \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle )
$

である。

問題 12.1   連立方程式

\begin{equation*}
\left \{
\begin{alignedat}{5}
&x&+ &y&+ &z&+& & w &=1\\
-&x...
... w &=-2\\
3&x&+ 3&y&+ 2 &z&+& & w &=1\\
\end{alignedat}\right.
\end{equation*}

を拡大係数行列の行基本変形を利用してとけ。


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2012-11-16