線形代数学概論 A NO.13 要約

行列 A の分解 A = P F_{m,n}(r)Q は「どのベクトルを活かすか」、「どのベクトルは潰すか」を決めていると考えることができるのでした。正則行列 P の逆行列は (P E) の行基本変形で求めることができるのでした。

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今日のテーマ連立一次方程式と基本変形 (2) 両側基本変形を用いると、一次方程式の解法は大変見通しが良くなる。

(あ)  Av = b

において、 A を両側基本変形し、

P AQ = F (r)

を得たとする。このとき、

P AQQ^{−1}v = P b
w = Q^{−1}v

と書いてみると、 Qw = v というふうに逆にもかけるから、これは可逆な変数変換であり、連立方程式 (あ) は

(い)  F (r)w = b′

を解くのと同等である。但し、 b′ = P b.

例 13.1.

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 10 & 7 & 8 \\ 9 & 18 & 11 & 12 \end{matrix}) , b = (\begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

のときを考えよう。

P = \frac{1}{8} (\begin{matrix}8 & 0 & 0 \\ 5 & −1 & 0 \\ 8 & −16 & 8 \end{matrix}) , Q = \frac{1}{2} (\begin{matrix}2 & −6 & −4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & −3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix})

により、 P AQ = F_{3,4}(2) と表せる。

Q^{−1} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Q^{−1}v = w

と変数変換すれば、

F_{3,4}(2) (\begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \\ w_{4} \end{matrix}) (= (\begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ 0 \end{matrix})) = Qb = ( b_{1} ; \frac{5b_{1}−b_{2}}{8} ; b_{1} − 2b_{2} + b_{3})

をとけば良いことになる。それは易しい。 ◎一般逆行列。与えられた行列 A ∈ M_{m,n}(ℝ) に対して、 B ∈ M_{n,m}(ℝ) で、

ABA = A

を満たすようなものを A の一般逆行列という。

例 13.2. F_{m,n}(r) の一般逆行列の一つとして、 F_{n,m}(r) がある。

一般逆行列は一意ではない。が、

命題 13.1. 与えられた行列 A に対して、 A の一般逆行列が必ず一つは存在する。

一般逆行列を用いて連立方程式を求めることもできる。

問題 13.1.

P = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) , Q = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

とおく。さらに、

R = \frac{1}{9} (\begin{matrix}−16 & 8 & −1 \\ 14 & −7 & 2 \\ −1 & 2 & −1 \end{matrix})

とおく。 A = P F_{2,3}(1)Q とおく。与えられたベクトル b ∈ ℝ^{2} に対して、方程式 (※) Av = b を考えよう。つぎの各問に答えなさい。

(1) 行列 RQ を計算せよ。

(2) P, Q の逆行列をそれぞれ求めなさい。

(3) b = c_{1} (\begin{matrix}1 \\ 3 \end{matrix}) + c_{2} (\begin{matrix}2 \\ 4 \end{matrix}) と書いた時、方程式 (※) が解を持つため

には、 c_{1}, c_{2} はどのような条件を満たせばよいか。

(4) b, c_{1}, c_{2} が前問の条件を満たして方程式 (※) が解を持つとき、その解をすべて求めなさい。