線形代数学概論 A NO.14 要約

今日のテーマ復習ベクトル空間の次元という量を使って、今までのことを少し整

理してみよう。

定義 14.1. ベクトル空間 V の次元とは、 V のなかの一次独立な元の最大個数である。 V の次元を dim(V) と書く。

ℝ^{d} の基本ベクトル e_{1}, e_{2}, … e_{d} は一次独立であるから、 dim(ℝ^{d}) ≥ d が分かる。逆に、つぎのことが行列の標準形の議論から分かる。

命題 14.1. ℝ^{d} の d + 1 個以上のベクトルは必ず一次従属である。

よって、 (当たり前に見えるが定義通に確かめようとすると自明ではない) つぎのことが成り立つ。

定理 14.2. ℝ^{d} の次元はちょうど d である。

すでに述べたとおり (命題 12.2)、正則行列の d 個のベクトルは必ず一次独立であった。

逆に、つぎのことがわかる。

命題 14.3. d 次元ベクトル空間 ℝ^{d} の一次独立な d 個のベクトル v_{1}, v_{2}, …, v_{d} があったとする。このとき、それらを並べでできる行列

P = (v_{1} v_{2} … v_{d})

は正則行列である。

d 次元ベクトル空間 V = ℝ^{d} の d 個の一次独立な元を、 V の基底と呼ぶ。基底を選ぶということは、 V の座標をひとつ選ぶという事に相当する。基底という言葉を使うと、上のことは次のように整理される。

定理 14.4. d 次元ベクトル空間 ℝ^{d} のベクトル v_{1}, v_{2}, …, v_{d} が基底であることと、それらを並べてできる行列

P = (v_{1} v_{2} … v_{d})

が正則行列であることは同値である。

行列の階数という概念も、次元を用いて述べることができる。

命題 14.5. 行列 A ∈ M_{m,n}(ℝ) の階数とは、 A の列ベクトルのうち、一次独立なももの最大個数であり、これはまた A の像

Image(A) = {Ax|x ∈ ℝ^{n}}

の次元に等しい。

行列の両側変形による標準形は、つぎのことを教えてくれる。

定理 14.6 (次元定理). A ∈ M_{m,n}(ℝ) が決まっているとする。 A を V = ℝ^{n} から W = ℝ^{m} への線形写像と考えよう。このとき、

rank(A) = dim(Image(A)) = dim(V) − dim(Ker(A)).

つぎのことが出来れば一学期合格と言えるだろう。

(1) 上の定理が、どういうことを述べているか、分かる。

(2) 行列の両側変形が具体的に計算できる。

(3) 計算結果を上の定理と比べて解釈できる。