next up previous
Next: About this document ...

1=4

����� IA No.4����

���Ȥ����ν��ޤ�Ǥ������黻����������Ȥ������ȡ� �ʤĤޤꡢ�黻�ˤĤ����Ĥ��Ƥ��뤳��)�� �ֲ��⤷�ʤ��פȤ����������ε������ν��ޤ�˴ޤޤ��Ȥ����� ������ʤΤǤ�����

\fbox{�����Υơ���} ��ͭ�·�(³��)��

$ \bullet$ ���ο���ͭ�¤Ǥ���褦�ʷ���ͭ�·��ȸ�����

$ \bullet$ �� $ G$ �θ��θĿ���$ G$ �ΰ̿��ȸ�����$ \vert G\vert$ ��ɽ����

ͭ�·��ν��פ���Ȥ��ơ�ͭ���оη���ͭ�½�󷲡������η������롣

�ְ�Ĥθ�������������Ƥ��ơ����ο���ͭ�¤Ǥ����󷲤� ͭ�½�󷲤Ȥ����פȤ����Τ�����Ū������ʤΤ����� �����Ǥϡ���������פ�������󤷤ˤ��ơ� �Ĥ��Τ褦�ʴ֤˹�碌��Ū������򤷤Ƥ������Ȥˤ��롣

��� 4.1   $ \frak S_n$ �θ� $ a$ �� $ a=(1\ 2\ \dots\ n-1\ n)$ ��������롣 ���ΤȤ���

$\displaystyle C_n=\{e, a, a^2,a^3,a^4,\dots, a^{-1},a^{-2},\dots\} $

��̿�$ n$ ��ͭ�½�󷲤ȸƤ֡�

����

��θ� $ a$ �ˤĤ��ơ�

\begin{displaymath} % latex2html id marker 823a(k)= \begin{cases} k+1 &(k\neq n \text{�ΤȤ�}) \\ 1 &(k=n \text{�ΤȤ�}) \end{cases}\end{displaymath}

�Ƚ񤱤롣���������ʬ���򤹤��ꡢ��äȳڤ���ˡ�����롣 $ n$ ����Ƥ����ơ� % latex2html id marker 827 $ 1\leq k\leq n$ ���ϰϤǤϡ�$ k $ �Τ����� $ [k]$ �Ȥ��������Ƴ�����롣 (�ɤ� $ n$ ��ͤ��Ƥ��뤫�Ϥä��ꤵ���������ˤ� $ [k]_n$ �Ƚ񤯡�) �Ĥ��ˡ����̤������ˤĤ��ơ��緫��ˡ�

  $\displaystyle [n+1]=[1], [n+2]=[2], [n+3]=[3],\dots,$    
  $\displaystyle [0]=[n], [-1]=[n-1],[-2]=[n-2],\dots$    

������«���롣 �㤨�С�$ n=13$ �ʤ�С�

  $\displaystyle [14]=[1], [15]=[2], [16]=[3],\dots,$    
  $\displaystyle [0]=[13], [-1]=[12],[-2]=[10],\dots,$    
  $\displaystyle [128]=[10],[-128]=[2],$   etc    

$ [k]=[l]$ ���ɤ����ϡ� $ k-l$ �� $ n$ �dz���ڤ�뤫�ɤ����� Ƚ�ǤǤ��뤳�Ȥ����դ��Ƥ�������

�ʾ�Τ褦�ˤ��Ƥ����ơ� $ C_n$ �� $ \{[1],[2],[3],\dots,[n]\}$ ���ִ����Ȥߤʤ��ȡ�

$\displaystyle a([k])=[k+1] $

�Ƚ񤱤롣����ϰʸ�������ξ���������ͭ���Ǥ��롣

���� 4.1   ��� $ C_n$ ��ͤ��� $ a=(1\ 2\ \dots\ n-1\ n)$ �Ȥ����� ���ΤȤ���
  1. $ a^n=e$ �Ǥ��롣($ e$ �Ϲ����ִ�)
  2. ���� $ k,l$ ���Ф��ơ�

    $\displaystyle a^k=a^l $

    ������Ω�ĤȤ������Ȥȡ�$ k-l$ �� $ n$ ���ܿ��Ǥ���Ȥ������ȤȤϡ� Ʊ�ͤǤ��롣
  3. $ C_n$ �ΰ̿��� $ n$ �Ǥ��롣

�� $ n$ �ѷ��򤽤켫�Ȥ˽Ťͤ��碌�����Τʤ����������η��ȸ����� ����򤳤��Ǥϼ��Τ褦��Ƴ�����롣

��� 4.2   $ n$ �� $ 3$ �ʾ�������Ǥ���Ȥ��롣

$ \frak S_n$ �Τʤ��ǡ� $ a=(1\ 2\ \dots\ n-1\ n)$ �ȡ�

$\displaystyle b= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n-1 & n \\ n & n-1 & n-2 & \dots & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$

�Ȥ��������줿���� $ \mathbb{D}_n$ �Ƚ񤭡������η��ȸ�����

����

����

$\displaystyle b(k)=n-k+1 $

������Ω�ġ� ����ˡ� ��ۤɽҤ٤� $ [k]$ �Ȥ���������Ѥ���ȡ�

$\displaystyle b([k])=[-k+1] $

������Ω�ġ�

���� 4.2  
  1. ���� $ a^n=e,b^2=e,bab^{-1}=a^{-1}$ ������Ω�ġ�
  2. $ a^k b a^l= a^{k-l}b $ �����Ƥ����� $ k,l$ �ˤĤ�������Ω�ġ�
  3. $ \mathbb{D}_n$ ���

    $\displaystyle e,a,a^2,a^3,\dots,a^{n-1}, b,ab,a^2b,a^3b,\dots,a^{n-1}b $

    �� $ 2n$ �Ĥ��롣�äˡ� $ \mathbb{D}_n$ �ΰ̿��� $ 2n$ �Ǥ��롣

����ݡ�������

�����椫����������ǡ���ݡ��ȤȤ�����Ф��ʤ�����

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).
$ a^k (b( a^l([x])))$ ����� $ a^{k-l}(b([x])) $ ��׻����뤳�Ȥˤ�ꡢ ���� 5.3�� 2.��������ʤ�����

next up previous
Next: About this document ...
2012-07-12