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代数学 IA No.5要約

\fbox{今日のテーマ} 《生成される(部分)群》

$ G$ と、その部分集合 $ M$ とが与えられているとする。このとき、

$ \bullet$ $ M$ で生成される $ G$ の部分群とは、 $ M$ を含む最小の部分群のことである。

$ \bullet$ 特に、$ G$ 自身が $ M$ で生成される $ G$ の部分群であるとき、 単に、$ G$$ M$ で生成される。という。

《生成される部分群》の正確な定義は次のようになる。

定義 5.1 (《生成される部分群》の定義)  

$ G$ とその部分集合 $ M$ とが与えられているとする。 $ G$ の部分群 $ H$$ M$ で生成される $ G$ の部分群であるとは、 次の条件を満たすときに言う。

(生成 1).
$ H$$ M$ を部分集合として含む $ G$ の部分群である。

(生成 2).
$ H$ は上の条件 (生成1) を満たすもののうち最小のものである。 すなわち、次のことが成り立つ。

$ \langle\!\langle$ $ K$ が、$ M$ を部分集合として含む $ G$ の部分集合であれば、 $ H$$ K$ の部分群になる。 $ \rangle\!\rangle$

$ M$ で生成される $ G$ の部分群を $ \langle M \rangle$ と書く。

命題 5.1   整数 $ m$ に対して、 $ m$ で生成される $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群は $ m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に 一致する。

命題 5.2   $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群 $ H$ で、 0 でないものをとってきたとする。すると、
  1. $ H$ の元で、正で、最小のものが存在する。(それを $ n_0$ とおこう。)
  2. $ H$$ n_0$ で生成される。

定理 5.3   $ \{0\}$ 以外の $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群は $ n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ($ n$ は正の整数)の 形のものに限る。 (逆に、もちろん、 $ n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群である。)

命題 5.4   $ G$ の元 $ g$ に対して、 $ g$ で生成される $ G$ の部分群は

$\displaystyle \langle g \rangle =\{g^n ; n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}
$

に一致する。これはもう少し詳しく見ると次の2つの場合がある。
  1. $ g^n$ $ (n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ はすべて相異なる。
  2. ある正の整数 $ k$ があって、$ g^k=e$ が成り立つ。 そのようなもののうち、最小のものを $ g$位数と呼ぶ。

(1)の場合には、 $ g$ の位数は無限であるという。

命題 5.5   $ G$ の元 $ g$ の位数 $ k$ が有限なら、 整数 $ l$$ g^l=e$ を満たすのは、 $ l\in k{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のときで、その時に限る。

問題 5.1   二面体群 $ \mathbb{D}_n$ の元 $ a^3$ について、 $ \langle a^3 \rangle$ と、 $ a^3$ の位数を $ n=3,4,5,6$ の場合についてそれぞれ計算しなさい。


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2012-07-12