1=6

代数学 IA No.6要約

群とは、操作の集まりでした。群をうまく扱うためには、 適当な「同一視」を行うと便利な場合があるのでした。 ルービックキューブがそれなりに汚れてきても面の色の揃い方だけで区別したり、 正 $n$ 角形の頂点に複数の名前を与えて、 $[k]_n=[l]_n$ は $k-l$ が $n$ の倍数の時にする。等です。

《同値関係》

$\bullet$ 《同値関係》と《クラス分け》とは一つの現象を裏と表とから眺めたものである。

定義 6.1 (同値関係の定義)   集合 $X$ が与えられているとする。 $X$ に次のような条件を満たす「二項関係」 「$\sim$ 」 が定まっているとき、「$\sim$ 」 のことを同値関係と言う。

1. 任意の $a,b\in X$ に対して、$a\sim b$ か、そうでないかがはっきりと決まっている。
2. $a,b,c\in X$ が、 $a \sim b , b\sim c$ を満たせば、 $a \sim c$ も成り立っている。
3. 任意の $a\in X$ に対して、$a\sim a$ が成り立っている。
4. $a,b\in X$ が、$a\sim b$ を満たせば、$b\sim a$ も成り立っている。

例 6.1   つぎの例はそれぞれ $X$ 上の同値関係である。

1. $X=\{$平面上の三角形$\}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a$ と $b$ とは合同。
2. $X=\{$平面上の三角形$\}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a$ と $b$ とは相似。
3. $X=\{$日本人$\}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a$ と $b$ とは名前が同じ。
4. $X=\{$高知大生$\}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a$ と $b$ とは所属する学科が同じ。
5. $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a-b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

例 6.2   次の例は $X$ 上の同値関係ではない。

1. $X=\{$日本人$\}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a$ と $b$ とは友達である。
2. $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a\leq b$ .

集合に同値関係を入れるということは、集合のクラス分けをする事と同じことになる。クラス分けの正確な定義は、次のようになる。

定義 6.2   集合 $X$ が与えられているとする。 $X$ のクラス分けが与えられている、というのは、 次のような条件を満たす $X$ の部分集合の族 $\{X_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}$ が与えられているときに言う。

1. $\{X_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ は互いに交わらない。 すなわち、 $\lambda_1,\lambda_2$ が異なる $\Lambda$ の元ならば、
   $$X_{\lambda_1} \cap X_{\lambda_2}=\emptyset$$
   がなりたつ。
2. $\{X_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ は $X$ 全体を覆いつくす。すなわち、
   $$\bigcup_{\lambda\in \Lambda} X_{\lambda}=X$$
   がなりたつ。(各 $X_\lambda$ のことを「クラス」とか「類」とか呼ぶ。

定理 6.1   集合 $X$ が与えられているとする。このとき、

1. $X$ 上に同値関係 $\sim$ が与えられると、 $X$ のクラス分けが、次のようにして定まる。

   $$a \sim b \ {\Leftrightarrow}\ a b .$$ (※)

   
   
   $a$ と同値なものの全体からなる $X$ の部分集合を $C(a)$ と書くと、$X$ のクラス分けは、 $\{C(a)\}_{a\in X}$ から同じものを省いたものである。

2. 逆に、$X$ 上のクラス分けが与えられているとき、$($ ※$)$ によって $X$ 上に同値関係が定まる。

定義 6.3   集合 $X$ 上の同値関係 $\sim$ が与えられているとする。$X$ のクラスの一つ一つをそれぞれ一つの元とみた集合を、$X$ の $\sim$ による商集合と言い、$X/\sim$ で表す。 対応 $x \mapsto [x]$ ($x$ のクラス) を自然な射影と呼ぶ。

例 6.3  

1. 正の整数 $n$ を一つ固定し、 $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a-b \in n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と定める。 この場合、$X/\sim$ は前回解説した ``拡張した番号をつけられた頂点の集合" と同一視される。

2. $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a-b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ . この場合、$X/\sim$ は円周と同一視される。

定理 6.2  

1. 集合 $S$ から集合 $T$ への写像 $f:S\to T$ が与えられているとする。このとき、
   $$x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)$$
   により、同値関係が定まり、$S/\sim_f$ は $\operatorname{Image}(f)$ と一対一に対応する。
2. 集合 $X$ に同値関係 $\sim$ が定まっているとき、写像 $\pi: X \to X/\sim$ に対して上の対応で定まる $X$ 上の同値関係 $\sim_\pi$ は 元の $\sim$ と一致する。

レポート問題

(I) 日常生活に現れる簡単な集合 $X$ とその上の同値関係 $\sim$ の例をあげ、その例において $X/\sim$ がどのようなものであるか 述べよ。 (条件の設定の仕方によっては同値関係と呼べるかどうか 怪しいものもある。そのようなものについては、どこが弱点か、 どのようにすれば改善するかも述べること。)