代数学 IA No.8要約

群 $G$ の部分群 $H$ が与えられると、$G$ 自体のクラス分けが定まるのでした。

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《群の、部分群による左剰余類集合は、いつ群になるか。》

群の部分群による剰余集合が、「自然なやり方で」群になるには、 その部分群が正規部分群である事を仮定するのが良い。

定理 8.1   $G$ を群とし、$H$ をその部分群とする。このとき、

1. $G$ の任意の元 $g$ に対して、$g$ の $H$ を法とする左剰余類 $C(g)$ は
   $$gH=\{gh;h\in H\}$$
   と一致する。
2. $C(g) \ (=gH)$ と $H$ とは元の個数が等しい。
3. $G$ の位数 $\vert G\vert$ が有限ならば、$G/H$ の元の個数 $\char93 (G/H)$ と $H$ の位数 $\vert H \vert$ とはともに有限で、
   $$\vert G\vert=\char93 (G/H) \vert H\vert$$
   が成り立つ。

定義 8.1   $G$ を群、$K$ をその部分群とする。$K$ が $G$ の正規部分群であるとは、 任意の $g\in G$ と任意の $h\in K$ とに対して、

$$ghg^{-1}\in K$$

が成り立つときに言う。

例 8.1 (正規部分群の例)  

1. 可換群の部分群は正規部分群である。特に、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群はすべて正規部分群である。
2. 有限巡回群 $C_n$ も可換群であるから、その部分群はすべて正規部分群である。
3. 二面体群 $\Bbb D_n =\langle a,b; \quad a^n=e,\ b^2=e,\ ab=ba^{-1} \rangle$ の部分群 $\langle a \rangle$ は正規部分群である。

例 8.2 (正規部分群でない例)  

1. $\Bbb D_n$ の部分群 $\langle b \rangle$ は $\Bbb D_n$ の正規部分群ではない。
2. $n$ 次対称群 $\frak S_n$ の部分群 $\frak S_{n-1}$ は $\frak S_{n-1}$ の 正規部分群ではない。

定理 8.2   $($ 重要$)$ $G$ を群、$H$ をその部分群とする。$G/H$ に次のような乗法を定めて群にしてやりたい。

$$\overline{a} \overline{b} =\overline{ab}$$

これが、代表元の取りかたによらずにうまくいって、$G/H$ が実際に群になるためには、$H$ が正規部分群である事が必要十分である。

定理 8.3   $G$ を群、$N$ をその正規部分群とする。このとき $G$ の二つの元 $x,y$ に関する次の二つの条件は同値である。

(1).

ある $n\in N$ があって、$xn=y$ が成り立つ。

(2).

ある $m\in N$ があって、$mx=y$ が成り立つ。

すなわち、正規部分群でクラスわけする時には、 「左」「右」をあまり気にしなくて良い。

発展

定理 8.4   $G$ を群とし、その上の同値関係 $\sim$ が定まっているとする。$G/\sim$ に 乗法を、

$$% latex2html id marker 684\overline{a}\overline{b} =\overl... ... (a,b\in G; \text{$\overline{a}$ 等は $a$ 等のクラスを表す。})$$

で定めたい。この乗法が代表元の取りかたによらずに定まるならば、

$$N=\{x\in G; \quad x \sim e\}$$

は $G$ の正規部分群となり、$a\sim b$ と $a\equiv b \ ({\operatorname{mod}}N)$ とは同値になる。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

$m$ を正の整数とします。二面体群

$$\Bbb D_{5m}=\langle a,b; \quad a^{5m}=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle$$

の、$a^5$ で生成された部分群を求めなさい。さらに、これが $\Bbb D_{5m}$ の正規部分群であるかどうかを調べなさい。

(II).

$\frak S_3$ の、$(1\ 2\ 3)$ で生成された部分群をここでは仮に $A$ と書くことにします。$A$ は、$\frak S_3$ の正規部分群であることを示しなさい。さらに、 $\frak S_3 /A$ はどのような群になるか、かけ算の表をつくって答えなさい。

(III).

《発展》に挙げた定理のうち、$N$ が正規部分群であると言う部分の証明を書きなさい。 (ヒント：次のステップの各々に説明をつければ良い。どれも「明らか」ではない。（もちろん他のやり方を考えてもよろしい。)

• $\overline{e}$ は $G/\sim$ の単位元である。
• $a,b\in N$ ならば $ab \in N$ .(サービス：$G/\sim$ の乗法が代表元の取りかたによらない事から、 $\overline{a}\overline{b}=\overline{e}\overline{e}$ でなければならない。)
• $\overline{a}$ の $G/\sim$ での逆元は $\overline{a^{-1}}$ である。
• $a\in N$ ならば $a^{-1} \in N$ .
• $a \in G, b\in N$ ならば $aba^{-1}\in N$ .