代数学 IA NO.10 要約

今日のテーマ

次のことは、大変重要であるが、先延ばしにしてきた。

定理 10.1. ( 重要 )(再) G を群、 H をその部分群とする。 G/H に次のような乗法を定めて群にしてやりたい。

\overline{a}\overline{b} = \overline{ab}

これが、\underline{代表元の取りかたによらずに}うまくいって、 G/H が実際に群になるためには、 H が正規部分群である事が必要十分である。

実際には、「必要十分」のうち、「十分」のほうがよく用いられる。すなわち、

定理 10.2. G を群、 N をその正規部分群とする。 G/N は上の定理の乗法により群の構造をもつ。。

準同型定理の証明と準同型定理の応用

定理 10.3 (群の準同型定理). 群 G から別の群 H への準同型写像 φ : G → H が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

(1) φ の像 Image φ は H の部分群である。

(2) φ の核 N = Ker φ は G の正規部分群である。

(3) 剰余群 G/N は Image φ と同型である。

(補足)

第一回の準同型定理のステートメントでは、 N は G の部分群であるとだけ述べているが、実際には\underline{正規}部分群である。

証明の肝:

Step1 φ によるクラス分けは、 Ker(φ) によるクラス分けと一致する。

例 10.1. 位数 2n の二面体群 𝔻_{n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ から ({±1}, ×) への写像 f を、

f(a^{k}b^{l}) = (−1)^{l} (k ∈ ℤ, l ∈ ℤ)

で定めると、これは全射準同型写像になり、 f の核は ⟨a⟩ = {a^{k}; k = 0, 1, …, n − 1} に一致する。ゆえに、 ⟨a⟩ は 𝔻_{n} の正規部分群であり、

𝔻_{n}/⟨a⟩ ≅ {±1}

が成立することがわかる。

レポート問題

(I) (a) ℤ/8ℤ から ℤ/20ℤ への写像 f を、 f([x]_{8}) = [15x]_{20} で与

えたとき、これがうまく定義されていることを示しなさい。 (b) f が群の準同型であることもを示しなさい。

(c) f の対応表を書いて f によるクラス分けが Ker(f) によるクラス分けに一致することを確かめなさい。