代数学 IA No.10要約

次のことは、大変重要であるが、先延ばしにしてきた。

定理 10.1   $($ 重要$)$ (再) $G$ を群、$H$ をその部分群とする。$G/H$ に次のような乗法を定めて群にしてやりたい 。

$$\overline{a} \overline{b} =\overline{ab}$$

これが、代表元の取りかたによらずにうまくいって、$G/H$ が実際に群にな るためには、$H$ が正規部分群である事が必要十分である。

実際には、「必要十分」のうち、「十分」のほうがよく用いられる。すなわち、

定理 10.2   $G$ を群、$N$ をその正規部分群とする。$G/N$ は上の定理の乗法により 群の構造をもつ。。

準同型定理の証明と準同型定理の応用

定理 10.3 (群の準同型定理)   群 $G$ から別の群 $H$ への準同型写像 $\varphi:G\to H$ が与えられたとする。 このとき、次が成り立つ。

1. $\varphi$ の像 $\operatorname{Image}\varphi$ は $H$ の部分群である。
2. $\varphi$ の核 $N=\operatorname{Ker}\varphi$ は $G$ の正規部分群である。
3. 剰余群 $G/N$ は $\operatorname{Image}\varphi$ と同型である。

(補足)

第一回の準同型定理のステートメントでは、 $N$ は $G$ の部分群であるとだけ述べているが、実際には 正規部分群である。

証明の肝:

Step1 $\varphi$ によるクラス分けは、 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ によるクラス分けと一致する。

例 10.1  

位数 $2n$ の二面体群 $\Bbb D_n=\langle a,b;\ a^n=e, \ b^2=e, \ ab=ba^{-1} \rangle$ から $(\{\pm 1\},\times )$ への写像 $f$ を、

$$f(a^k b^l)= (-1)^l \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

で定めると、これは全射準同型写像になり、$f$ の核は $\langle a \rangle =\{a^k;k=0,1,\dots,n-1\}$ に 一致する。ゆえに、 $\langle a \rangle$ は $\Bbb D_{n}$ の正規部分群であり、

$$\Bbb D_n /\langle a \rangle \cong \{\pm 1\}$$

が成立することがわかる。

レポート問題

(I).

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x]_8)=[15 x]_{20}$ で与えたとき、これがうまく定義されていることを示しなさい。
2. $f$ が群の準同型であることもを示しなさい。
3. $f$ の対応表を書いて $f$ によるクラス分けが $\operatorname{Ker}(f)$ によるクラス分けに一致することを 確かめなさい。