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代数学 IA No.11要約

\fbox{今日のテーマ}

準同型定理の証明と準同型定理の応用(II)

定理 11.1 (群の準同型定理)   $ G$ から別の群 $ H$ への準同型写像 $ \varphi:G\to H$ が与えられたとする。 このとき、次が成り立つ。
  1. $ \varphi$ の像 $ \operatorname{Image}\varphi$$ H$ の部分群である。
  2. $ \varphi$ の核 $ N=\operatorname{Ker}\varphi$$ G$ の正規部分群である。
  3. 剰余群 $ G/N$ $ \operatorname{Image}\varphi$ と同型である。

証明の肝:

Step1. $ \varphi$ によるクラス分けは、 $ \operatorname{Ker}(\varphi)$ によるクラス分けと一致する。

Step2. $ G/\operatorname{Ker}(\varphi)$ の群の構造は $ \operatorname{Image}(\varphi)$ の群の構造と 一致する。

例 11.1  

位数 $ 2n$ の二面体群 $ \Bbb D_n=\langle a,b;\ a^n=e, \ b^2=e, \ ab=ba^{-1} \rangle $ から $ (\{\pm 1\},\times )$ への写像 $ f$ を、

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$\displaystyle f(a^k b^l)= (-1)^l \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})
$

で定めると、これは全射準同型写像になり、$ f$ の核は $ \langle a \rangle =\{a^k;k=0,1,\dots,n-1\}$ に 一致する。ゆえに、 $ \langle a \rangle $ $ \Bbb D_{n}$ の正規部分群であり、

$\displaystyle \Bbb D_n /\langle a \rangle \cong \{\pm 1\}
$

が成立することがわかる。

レポート問題

(I).
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x]_{15})=[ x]_{5}$ で与えたとき、これがうまく定義されていることを示しなさい。
  2. $ f$ が群の準同型であることもを示しなさい。
  3. $ f$ の対応表を書いて $ f$ によるクラス分けが $ \operatorname{Ker}(f)$ によるクラス分けに一致することを 確かめなさい。



2012-07-12