代数学 IA NO.13 要約

今日のテーマ群の直積 (+準同型定理の応用)

定義 13.1 (群の直積). (G_{1}, ♠) と、 (G_{2}, ♡) とが共に群であるとする。このとき、デカルト積集合

G_{1} × G_{2} = {(g_{1}, g_{2}); g_{1} ∈ G_{1}, g_{2} ∈ G_{2}}

は、次のような演算 ♢ により群になる。

(a_{1}, a_{2})♢(b_{1}, b_{2}) = (a_{1}♠b_{1}, a_{2}♡b_{2})

(G_{1} × G_{2}, ♢) を G_{1} と G_{2} の (群としての) 直積と呼ぶ。

定理 13.1 (有限巡回群の直積分解). m, n を互いに素な正の整数とする。このとき、同型

ℤ/mnℤ ≅ ℤ/mℤ × ℤ/nℤ

が存在する。

系 13.1. m, n を互いに素な整数とすると、

am + bn = 1

となる整数 a, b が存在する。

この系自身もよく利用される。 m, n が具体的に与えられたとき、 a, b の値を具体的に求めるには、ユークリッドの互除法を用いると良い。応用例として一つだけ挙げておく。

系 13.2 (系の系). m, n を互いに素な正の整数とする。このとき、 ℤ/mℤ の、 n̄ で生成される部分群は、 ℤ/mℤ 自身である。

※レポート問題

(I) ℤ/3ℤ × ℤ/3ℤ は巡回群ではないことを証明しなさい。