代数学 IA No.13要約

群の直積 (+準同型定理の応用)

定義 13.1 (群の直積)   $(G_1,\spadesuit)$ と、 $(G_2,\heartsuit)$ とが共に群であるとする。このとき、デカルト積集合

$$G_1\times G_2 = \{(g_1,g_2);\quad g_1\in G_1, g_2 \in G_2\}$$

は、次のような演算 $\diamondsuit$ により群になる。

$$(a_1,a_2)\diamondsuit(b_1,b_2)=(a_1\spadesuit b_1,a_2 \heartsuit b_2)$$

$(G_1\times G_2, \diamondsuit)$ を $G_1$ と $G_2$ の(群としての)直積と呼ぶ。

定理 13.1 (有限巡回群の直積分解)   $m,n$ を互いに素な正の整数とする。このとき、同型

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/mn{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

が存在する。

系 13.1   $m,n$ を互いに素な整数とすると、

$$am+bn=1$$

となる整数 $a,b$ が存在する。

この系自身もよく利用される。$m,n$ が具体的に与えられたとき、 $a,b$ の値を具体的に求めるには、ユークリッドの互除法を用いると良い。 応用例として一つだけ挙げておく。

系 13.2 (系の系)   $m,n$ を互いに素な正の整数とする。このとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の、$\bar{n}$ で生成される 部分群は、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 自身である。

※レポート問題

(I).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は 巡回群ではないことを証明しなさい。