論理と集合要約 No.5

第5回目の主題 :

論理と集合は裏腹の関係にあり、集合の包含関係(含む、含まれるの関係)は 対応する論理で証明するのが良いのでした。

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問題 5.1   $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset 5 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ だろうか。

問題 5.2   $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset 6 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ だろうか。

◎積集合

一般に, 元 $x$ と 元 $y$ を順序をつけて並べたもの $(x,y)$ を $x,y$ のペア(組)と呼ぶ。 $x,y$ が実数の場合には開区間と全く同じ記号になってしまっていて、 紛らわしいのだが、 区別するときには「区間 $(x,y)$ 」,「ペア(組) $(x,y)$ 」と前につけると 良いだろう。

定義 5.1   集合 $X,Y$ に対して、$X$ の元と $Y$ の元のペアの全体の集合

$$\{(x,y); x \in X , y\in Y\}$$

を $X$ と $Y$ の積集合といい、 $X\times Y$ で書き表す。

もっと一般に、 集合族 $\{X_\lambda\}_\lambda \in \Lambda$ に対して、

$$\{(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}; x_\lambda \in X_\lambda \}$$

を $\{X_\lambda\}$ の積集合といい、 $\prod_{\lambda \in \Lambda}X_\lambda$ で書き表す。

積集合は「積の集合」ではない。そのことを強調するため、 積集合のことを「デカルト積集合」とか「集合としての直積」と呼ぶこともある。

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ のことを $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ , $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ のことを $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ 等と 略記する。

以下では絶対値の性質を用いる。高校でよく出てくる性質の他、大切なのは

$$\vert x+y\vert\leq \vert x\vert+\vert y\vert$$

という性質であろう。この不等式は三角不等式と呼ばれる。

問題 5.3   $D_1=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert+\vert y\vert<1 \}$ , $B_1=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<1\}$ とおくとき、 $D_1 \subset B_1$ だろうか。

問題 5.4   $D_{1/2}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert+\vert y\vert<1/2 \}$ , $B_{1/2}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<1/4\}$ とおくとき、 $D_{1/2} \subset B_{1/2}$ だろうか。

問題 5.5   正の実数 $r$ に対して、 $D_{r}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert+\vert y\vert<r \}$ , $B_{r}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<r^2\}$ とおくとき、 $D_r \subset B_r$ だろうか。

$v=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ にたいし、そのノルムを

$$\vert\vert v\vert\vert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+ \dots + v_n^2}$$

で定義する。このとき、 $v=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ , $w=(w_1,w_2,\dots, w_n)$ にたいして、

$$\vert\vert v+w\vert\vert \leq \vert\vert v\vert\vert +\vert\vert w\vert\vert$$

がなりたつ。(三角不等式。) このことの証明は内積の定義と性質を用いたほうが良いので ここでは省く。興味のある人は線形代数の教科書を見てみること。

一般に、 $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ と $r>0$ に対して、

$$B_r(a)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; \vert\vert x-a\vert\vert< r\}$$

($a$ を中心とする半径 $r$ のボール。)とおく。

問題 5.6   $v\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の ノルムを $R$ とおくと、

$$B_r(v) \subset B_{(R+r)}(0)$$

が成り立つことを証明せよ。