論理と集合要約 No.6

第6回目の主題 :

$v=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ にたいし、そのノルムを

$$\vert\vert v\vert\vert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+ \dots + v_n^2}$$

で定義する。このとき、 $v=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ , $w=(w_1,w_2,\dots, w_n)$ にたいして、

$$\vert\vert v+w\vert\vert \leq \vert\vert v\vert\vert +\vert\vert w\vert\vert$$

がなりたつ。(三角不等式。)

一般に、 $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ と $r>0$ に対して、

$$B_r(a)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; \vert\vert x-a\vert\vert< r\}$$

$$\bar{B}_r(a)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; \vert\vert x-a\vert\vert\leq r\}$$

とおく。

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合 $U$ は

$$\forall x \in U \exists r \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$_{>0} \quad B_r(x) \subset U$$

を満たすとき、(通常位相に関して)開集合であると呼ばれる。 開集合とは、「境界を含まない集合」ということの数学的な表現である。

開集合というものをベースにして、「遠い」「近い」「つながっている」などの 概念を数学的に取り扱えるようにしたものが位相空間論である。 位相空間論は現代数学において大変重要な位置を占めていて、 進んで数学を学びたい人は、例えば微分積分学の学習と並行して学習してみるのも オススメである。

「境界」という言葉自体も数学的に表現できるが、 ここではそこまでは踏み込まないことにする。

問題 6.1   開球 $B_1(0)$ は開集合であることを示しなさい。

問題 6.2   閉球 $\bar{B}_1(0)$ は開集合ではないことを示しなさい。

問題 6.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の部分集合 $\{(x,0) ; x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ は開集合ではないことを示しなさい。

問題 6.4   任意の $a,b \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ と任意の正の数 $r_1,r_2$ にたいして、 $B_ {r_1}(a)\cap B_{r_2}(b)$ は開集合であることを示しなさい。

問題 6.5   任意の

$$\bigcap_{n=1}^\infty B_{1+1/n} (0)=\bar B_1(0)$$

であることを示しなさい。

一般に、開集合の２つの共通部分は開集合だが、 無限個の共通部分は開集合とは限らない。