論理と集合要約 No.9

写像を理解するときに、「ホテルヒルベルト」のような解釈もできるのでした。

この解釈では、全射は、「空き室がないこと」に対応し、 単射は、「各部屋個室」(単射でないことは、 相部屋が生じること)に対応するのでした。

全射や単射の存在は、始集合と終集合の元の多さと関係しているのでした。

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第9回目の主題 :

定理 9.1 (再)   集合 $X$ , $Y$ が与えられているとする。$X$ のおのおのの元 $x$ に対して $Y$ のコピー $Y_x$ を用意すれば、 $\{ Y_x\}_{x \in X}$ はひとつの集合の族である。 $X$ から $Y$ への写像 $f$ は

$$\prod_{x \in X} Y_x$$

の元 $(f(x))_{x \in X}$ と同一視される。すなわち、 直積集合 $\prod_{x \in X} Y_x$ は$X$ から $Y$ への写像全体の集合と同一視できる。

定義 9.2 (再)   $X$ から $Y$ への写像の全体のなす集合を $Y^X$ と書く。これはまた

$$\operatorname{Hom}_{\text{set}} (X,Y)$$

と書く場合もある。

公理 9.3 (選択公理)   空でない集合ばかリからなる集合族 $\{X_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ に たいして、 $\prod_\lambda X_\lambda$ は空ではない。 言い換えると、無限個の空でない集合たち $X_\lambda$ から、いっせいに一つづつ 元を取り出すことが可能である。

◎写像の合成

定義 9.4   写像 $f: X\to Y$ と $g: Y \to Z$ が与えられているとする。 このとき、$f,g$ の合成写像 $g\circ f: X\to Z$ を

$$(g\circ f) (x)= g(f(x))$$

で定義する。

次の命題は簡単ではあるが有用である。実用上はこのような命題があることだけ 記憶しておいて、その都度頭の中で確かめるのがいいだろう。

命題 9.5   写像 $f: X\to Y$ と $g: Y \to Z$ が与えられているとする。 このとき、次がなりたつ。

1. $f,g$ がともに単射ならば $g \circ f$ も単射である。
2. $f,g$ がともに全射ならば $g \circ f$ も全射である。
3. $f,g$ がともに全単射ならば $g \circ f$ も全単射である。
4. $g \circ f$ が単射ならば、 $f$ は単射である。
5. $g \circ f$ が全射ならば、 $g$ は全射である。

定義 9.6   集合 $X$ に対して、写像 $X \ni x \mapsto x \in X$ を $X$ の恒等写像といい、 ${\operatorname{id}}_X$ で表す。

命題 9.7   集合 $X,Y$ と、写像 $f: X\to Y$ および $g: Y\to X$ が与えられているとする。 このとき次のことはすべて同値である。

1. $f$ は全単射であって、$g$ は $f$ の逆写像である。
2. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ かつ $f\circ g={\operatorname{id}}_Y$ .
3. $f$ は全射であって、 $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ .
4. $f$ は単射であって、 $f\circ g={\operatorname{id}}_Y$ .

上の命題も、 $(1) {\Leftrightarrow}(2)$ 以外はその都度確認すれば良い。 $(1) {\Leftrightarrow}(2)$ は特に重要である。

問題 9.1   $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ , $Y=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ とおく。 写像 $f :X \ni x \to x \in Y$ と $g :Y \ni x \to \vert x\vert \in X$ にたいして、

1. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ であることを示しなさい。
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ であることを示しなさい。
3. $f$ , $g$ はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

定義 9.8   実数 $x$ に対して、$x$ を超えないような整数のうち最大のものを $\lfloor x \rfloor$ と書く(floor of $x$ と読む。)。 例えば、

$$\lfloor 3.14 \rfloor =3, \quad \lfloor -3.14 \rfloor= -4, \quad$$

である。また、任意の整数 $n$ に対して、 $\lfloor n \rfloor = n$ である。

一般に、実数 $x$ と整数 $n$ に対して、

$$\lfloor x \rfloor = n \ {\Leftrightarrow}\ n \leq x < n+1$$

にも注意しておこう。昔は $\lfloor x \rfloor$ のことを $[x]$ で 書いて、「ガウス記号」と呼ぶことが多かったが、 今や floor のほうが通りが良くなりつつあるようである。

問題 9.2   $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $Y={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とおく。 写像 $f :X \ni x \to 2 x \in Y$ と $g :Y \ni x \to \lfloor x/2 \rfloor \in X$ にたいして、

1. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ であることを示しなさい。
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ であることを示しなさい。
3. $f$ , $g$ はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

問題 9.3   $X={\mathbb{C}}[t]$ (複素数係数の $t$ を変数とする多項式の全体のなす集合), $Y={\mathbb{C}}[t]$ とおく。 写像 $f :X \ni p \to \int_0^t p dt \in Y$ と $g :Y \ni p \mapsto \frac{d}{d t} p \in X$ にたいして、

1. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ であることを示しなさい。
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ であることを示しなさい。
3. $f$ , $g$ はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。