論理と集合要約 No.10

定義 10.1 (再) 実数

に対して、

を超えないような整数のうち最大のものを $\lfloor x \rfloor$ と書く(floor of

と読む。)。例えば、

$% latex2html id marker 1019 $\displaystyle \lfloor 3.14 \rfloor =3, \quad \lfloor -3.14 \rfloor= -4, \quad $$

である。また、任意の整数

に対して、 $\lfloor n \rfloor = n$ である。

問題 10.1 (再) $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $Y={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とおく。写像 $f :X \ni x \to 2 x \in Y$ と $g :Y \ni x \to \lfloor x/2 \rfloor \in X$ にたいして、

$g \circ f={\operatorname{id}}_X$ であることを示しなさい。
$% latex2html id marker 1040 $ f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$$ であることを示しなさい。
, はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

問題 10.2 $g_1: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を

$\begin{displaymath} g_1(n)= \begin{cases} n/2 &\text{($n$ が偶数の時)} \\ 0 &\text{($n$ が奇数の時)} \end{cases}\end{displaymath}$

と定義すれば、問題 10.1 の

に対し $g_1 \circ f={\operatorname{id}}_{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が成り立つことを示しなさい。

問題 10.3 $f_1: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を

$\displaystyle f_1(n)= 2 n +1$

と定義すれば、問題 10.1 の

に対し $g \circ f_1={\operatorname{id}}_{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が成り立つことを示しなさい。

問題 10.4 (再) $X={\mathbb{C}}[t]$ (複素数係数の

を変数とする多項式の全体のなす集合), $Y={\mathbb{C}}[t]$ とおく。写像 $f :X \ni p \to \int_0^t p dt \in Y$ と $g :Y \ni p \mapsto \frac{d}{d t} p \in X$ にたいして、

$g \circ f={\operatorname{id}}_X$ であることを示しなさい。
$% latex2html id marker 1105 $ f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$$ であることを示しなさい。
, はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

定義 10.2 写像 $f: X\to Y$ が与えられているとき、

の部分集合に対して、そのによる像(順像とも言う) を

$\displaystyle f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$

で定義する。
の部分集合に対して、そのによる逆像 ${f}^{-1}(B)$ を

$\displaystyle {f}^{-1}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$

により定義する。