論理と集合要約 NO.14

第 14 回目の主題 : 写像は定義域の元を類別する。

定義 14.1. (再) 集合 X の部分集合の族 {C_{λ}}_{λ∈Λ} が X のクラス分け (分割とも言う) であるとは、つぎのことが成り立つときに言う。

(1) ⋃_{λ∈Λ} C_{λ} = X.

(2) λ_{1}, λ_{2} ∈ Λ , λ_{1} ≠ λ_{2} ならば C_{λ_{1}} ∩ C_{λ_{2}} = ∅.

定義 14.2. (再) X の 2 つの元 x, y にたいして、 x ∼ y か、そうでない (x ≁ y) かがきちんと定まっていて、次の性質を持つとき、 ∼ のことを X 上の同値関係という。

(1) ∀x ∈ X∀y ∈ X∀z ∈ X ( 「x ∼ y and y ∼ z」 ⟹ x ∼ z).

(2) ∀x ∈ X (x ∼ x).

(3) ∀x ∈ X∀y ∈ X (x ∼ y ⟹ y ∼ x).

命題 14.3. X に同値関係 ∼ が定まっているとする。このとき、 x ∼ y か否かによって、 x と y が同じクラスか否かを定めることで X のクラス分けが定義される。

◎写像になる、ならない

問題 14.1. X = (三角形全体の集合)とする。

(1) X から ℝ への写像 f_{1} を、 f_{1}(Δ) = (Δ の一つの辺の長さ)で決めようと思う。 f_{1} は写像だろうか。

(2) X から ℝ への写像 f_{2} を、 f_{2}(Δ) = (Δ の最短の辺の長さ)で決めようと思う。 f_{2} は写像だろうか。

(3) X から ℝ^{3} への写像 f_{3} を、 f_{3}(Δ) = (Δ の三辺の長さ)で決めようと思う。 f_{3} は (4) X から ℝ^{3} への写像 f_{4} を、 f_{4}(Δ) = (Δ の三辺の長さを短い順に並べたもの)で

決めようと思う。 f_{4} は写像だろうか。

問題 14.2. (1) 正方形全体の集合を X_{1} とおく。このとき、 X_{1} から ℝ への写像を、

f(x) = (x の１辺の長さ)で定義できるだろうか。

(2) 長方形全体の集合を X_{2} とおく。このとき、 X_{2} から ℝ への写像 f を、 f(x) = (x の１辺の長さ)で定義できるだろうか。

(3) 前問と同じ X_{2} について、 X_{2} から ℝ への写像 g を g(x) = (x の周の長さ)で定義できるだろうか。

問題 14.3. ℤ における二項関係を x ∼ y⇔x − y ∈ 6ℤ で定義する。このとき、 (1) ∼ は同値関係であることを示しなさい。

(2) 以下この問題では、 x ∈ ℤ の ∼ に関するクラスを [x] と書く。 1 のクラス [1] に属する ℤ の元をすべて答えなさい。

(3) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 3 で割った余り)で定義できるだろうか。

(4) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 4 で割った余り)で定義できるだろうか。

問題 14.4. ℤ における二項関係を x ∼ y⇔x − y ∈ 12ℤ で定義する。このとき、 (1) ∼ は同値関係であることを示しなさい。

(2) 以下この問題では、 x ∈ ℤ の ∼ に関するクラスを [x] と書く。 3 のクラス [3] に属する ℤ の元をすべて答えなさい。

(3) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 5 で割った余り)で定義できるだろうか。

(4) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 4 で割った余り)で定義できるだろうか。