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論理と集合要約 No.14

第14回目の主題 : \fbox{写像は定義域の元を類別する。}

定義 14.1 (再)   集合 $ X$ の部分集合の族 $ \{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$$ X$クラス分け (分割とも言う)であるとは、つぎのことが成り立つときに言う。
  1. $ \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda =X$ .
  2. $ \lambda_1,\lambda_2 \in \Lambda$ , % latex2html id marker 1145
$ \lambda_1 \neq \lambda_2 $ ならば $ C_{\lambda_1} \cap C_{\lambda_2} =\emptyset$ .

定義 14.2 (再)   $ X$ の2つの元 $ x,y$ にたいして、$ x \sim y$ か、そうでない( $ x\not\sim y$ ) か がきちんと定まっていて、次の性質を持つとき、$ \sim $ のことを $ X$ 上の同値関係という。
  1. $ \forall x \in X \forall y \in X \forall z \in X$ (「$ x \sim y$ and $ y \sim z $$ \implies$ $ x \sim z$ ).
  2. $ \forall x \in X$ ($ x \sim x$ ).
  3. $ \forall x \in X \forall y \in X $ ($ x \sim y$ $ \implies$ $ y \sim x$ ).

命題 14.3   $ X$ に同値関係 $ \sim $ が定まっているとする。このとき、 $ x \sim y$ か否かによって、$ x$$ y$ が同じクラスか否かを 定めることで $ X$ のクラス分けが定義される。

◎写像になる、ならない

問題 14.1   $ X=$(三角形全体の集合) とする。
  1. $ X$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ への写像 $ f_1$ を、 $ f_1(\Delta)=$($&Delta#Delta;$ の一つの辺の長さ) で決めようと思う。$ f_1$ は 写像だろうか。
  2. $ X$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ への写像 $ f_2$ を、 $ f_2(\Delta)=$($&Delta#Delta;$ の最短の辺の長さ) で決めようと思う。$ f_2$ は 写像だろうか。
  3. $ X$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^3$ への写像 $ f_3$ を、 $ f_3(\Delta)=$($&Delta#Delta;$ の三辺の長さ) で決めようと思う。$ f_3$
  4. $ X$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^3$ への写像 $ f_4$ を、 $ f_4(\Delta)=$($&Delta#Delta;$ の三辺の長さを短い順に並べたもの) で 決めようと思う。$ f_4$ は写像だろうか。

問題 14.2  
  1. 正方形全体の集合 を $ X_1$ とおく。このとき、$ X_1$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ への 写像を、 $ f(x)=$($x$ の1辺の長さ) で定義できるだろうか。
  2. 長方形全体の集合 を $ X_2$ とおく。このとき、$ X_2$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ への 写像 $ f$ を、 $ f(x)=$($x$ の1辺の長さ) で定義できるだろうか。
  3. 前問と同じ $ X_2$ について、 $ X_2$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ への写像 $ g$ $ g(x)=$($x$ の周の長さ) で定義できるだろうか。

問題 14.3   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における二項関係を $ x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で定義する。 このとき、
  1. $ \sim $ は同値関係であることを示しなさい。
  2. 以下この問題では、 $ x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ \sim $ に関するクラスを $ [x]$ と書く。 $ 1$ のクラス $ [1]$ に属する $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて答えなさい。
  3. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $3$ で割った余り) で定義できるだろうか。
  4. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。

問題 14.4   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における二項関係を $ x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で定義する。 このとき、
  1. $ \sim $ は同値関係であることを示しなさい。
  2. 以下この問題では、 $ x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ \sim $ に関するクラスを $ [x]$ と書く。 $ 3$ のクラス $ [3]$ に属する $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて答えなさい。
  3. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $5$ で割った余り) で定義できるだろうか。
  4. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。


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2012-07-19