論理と集合要約 NO.15

第 15 回目の主題 : 復習。

問題 15.1. ℤ における二項関係を x ∼ y⇔x − y ∈ 6ℤ で定義する。このとき、 (1) ∼ は同値関係であることを示しなさい。

(2) 以下この問題では、 x ∈ ℤ の ∼ に関するクラスを [x] と書く。 1 のクラス [1] に属する ℤ の元をすべて答えなさい。

(3) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 3 で割った余り)で定義できるだろうか。

(4) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 4 で割った余り)で定義できるだろうか。

問題 15.2. ℤ における二項関係を x ∼ y⇔x − y ∈ 12ℤ で定義する。このとき、 (1) ∼ は同値関係であることを示しなさい。

(2) 以下この問題では、 x ∈ ℤ の ∼ に関するクラスを [x] と書く。 3 のクラス [3] に属する ℤ の元をすべて答えなさい。

(3) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 5 で割った余り)で定義できるだろうか。

(4) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 4 で割った余り)で定義できるだろうか。

例題 15.1. 命題 P:∀x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ(x < y ⟹ ∃z ∈ ℤ(x < z and z < y))) について、 (1) P の否定命題 (not P) を「not を使わずに」書きなさい。

(2) P と not P のうち、真であるのはどちらだろうか。

例題 15.2. 写像 f : ℤ ∋ x ↦ x^{2} − 2x ∈ ℤ に対して、

(1) f^{−1}({0}) を求めなさい。

(2) f^{−1}({1}) を求めなさい。

(3) f^{−1}({4, 5, 6}) を求めなさい。

(4) f は単射だろうか。理由を挙げて答えなさい。

(5) f は全射だろうか。理由を挙げて答えなさい。

(6) f によって ℤ に同値関係 ∼_{f} が

x ∼_{f} y⇔f(x) = f(y)

により定まる。この ∼_{f} により 3 と同値になる ℤ の元をすべて求めなさい。

例題 15.3. 写像 f : ℝ ∋ x ↦ x^{2} − 2x ∈ ℝ に対して、

(1) f^{−1}({0}) を求めなさい。

(2) f^{−1}({1}) を求めなさい。

(3) f は単射だろうか。理由を挙げて答えなさい。

(4) f は全射だろうか。理由を挙げて答えなさい。

(5) f によって ℝ に同値関係 ∼_{f} が

x ∼_{f} y⇔f(x) = f(y)

により定まる。この ∼_{f} により 3 と同値になる ℝ の元をすべて求めなさい。

例題 15.4. 写像 f : X → Y が与えられているとする。このとき

(1) X の任意の部分集合 A, B にたいして、 f^{−1}(A ∩ B) = f^{−1}(A) ∩ f^{−1}(B) が成り立つことを示しなさい。

(2) X の任意の部分集合の族 {A_{λ}}_{λ∈Λ} にたいして、 f^{−1}(⋂_{λ∈Λ} A_{λ} = ⋂_{λ∈Λ} f^{−1}(A_{λ}) が成り立つことを示しなさい。

(3) X の任意の部分集合の族 {A_{λ}}_{λ∈Λ} にたいして、 f^{−1}(⋃_{λ∈Λ} A_{λ} = ⋃_{λ∈Λ} f^{−1}(A_{λ}) が成り立つことを示しなさい。