線形代数学概論 A No.2要約

抽象的ベクトル空間、ベクトル空間の部分空間。一次独立性

実数直線も、

$$W_0=\left\{ t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}; t\in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

も、「同じ形」をしている。 このような２つを同時に扱うのには、成分を見るのではなく、 和と、スカラー倍という道具のみを用いて記述することが 大事になる。 そもそも、成分を扱ってばかりいるのではベクトルを研究する意味がない。

定義 2.1 (教科書5.1および定理1.1 )   $V$ が $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のベクトル空間であるとは、 つぎの性質を満たしているときにいう。

O.

(演算の存在) $V$ には、和と、スカラー倍 ( $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の元による定数倍)が定義されている。

O.

($V$ は和に関して加法群である。)

1. $\forall$   $x$ $, \forall$   $y$ $, \forall$   $z$ $\in V$ にたいし、 $($$x$ $+$   $y$ $)+$$z$ $=$   $x$ $+($$y$ $+$$z$ $)$ .
2. $\exists$   0 $\in V$ があって、 $\forall$   $x$ $\in V$ にたいし、    $x$ $+$0 $=$$x$ $,$   0 $+$$x$ $=$0 がなりたつ。
3. $\forall$   $x$ $\in V$ に対して、 $\exists$   $y$ $\in V$ が存在して、 $x$ $+$$y$ $=$0 $,$   $y$ $+$$x$ $=$0 が成り立つ。
4. $\forall$   $x$ $,$$y$ $\in V$ にたいして    $x$ $+$$y$ $=$$y$ $+$$x$ が成り立つ.

O.

(スカラー倍の作用)

1. $\forall c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall$$x$ $\in V$ $(c_1 c_2)$$x$ $= c_1.(c_2.$$x$ $)$ .
2. $\forall$   $x$ $\in V$ $1.$$x$ $=$$x$ .

O.

(和とスカラー倍の協調性)

1. $\forall c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall$   $x$ $\in V$ $(c_1+c_2)$   $x$ $=c_1$   $x$ $+c_2$$x$
2. $\forall c \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$, \forall$   $x$ $,$$y$ $\in V$ $c($$x$ $+$$y$ $) =c$   $x$ $+ c$$y$ .

上で「 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 」とあるところをことごとく「 ${\mathbb{C}}$ 」で置き換えると、 複素数体上のベクトル空間の定義になる。更に、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ のところを 体(加減乗除について閉じたような集合)$K$ で置き換えて、$K$ 上のベクトル空間 の定義を与えることができる。

命題 2.1   ベクトル空間 $V$ にたいして、

1. $V$ の元 $v$ で、 $v$ $+$$v$ $=$$v$ を満たすものがただひとつ存在する。 これが $V$ のゼロ元(ゼロベクトル)である。
2. $V$ の各元 $x$ に対して、 $0.$$x$ $=$0 が成り立つ。
3. $V$ の元 $x$ に対して、 $x$ $+$$y$ $=$0 をみたす $y$ はただひとつである。 これを $x$ の逆ベクトルとよぶ。

定義 2.2   ベクトル空間 $V$ の部分集合で、(同じ和とスカラー倍に関して) ベクトル空間であるようなものを、$V$ の部分ベクトル空間と呼ぶ。

上述の $W_0$ も $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の部分ベクトル空間である。

定義 2.3   $V$ のベクトル $v$ $_1,$$v$ $_2,$$v$ $_3,\dots,$   $v$ $_t$ が一次従属であるとは、 ある $(c_1,c_2,\dots c_t)\neq (0,0,\dots,0)$ が存在して、

$$c_1$$   $v$ $$_1 +c_2$$   $v$ $$_2 +\dots c_t$$   $v$ $$_t=0$$

を満たすときにいう。 $v$ $_1,$$v$ $_2,\dots,$   $v$ $_t$ が一次従属でない場合には、 一次独立であると呼ばれる。

要するに、一次従属であるとは、与えられたベクトルの間に 関係式が存在することである。 一次独立かそうでない(一次従属)か、 は和とスカラー倍のみを用いて記述されており、 成分の値については直接は言及していない。いかにも線形代数的な概念である。

例 2.1 (線形従属なベクトルの例)  

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^4$ の元を
      $v$ $$_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},$$$v$ $$_2= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix},$$   $v$ $$_3= \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8\\ 10 \end{pmatrix}$$
   で定めると、 $v$ $_1,$$v$ $_2,$$v$ $_3$ は一次従属である。 $v$ $_1+$$v$ $_2=$$v$ $_3$ であるからである。

2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ の元を
      $v$ $$_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix},$$$v$ $$_2= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},$$   $v$ $$_3= \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9\\ \end{pmatrix}$$
   で定めると、 $v$ $_1,$$v$ $_2,$$v$ $_3$ は一次従属である。 $v$ $_1+6$   $v$ $_2=$$v$ $_3$ であるからである。

3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の元を
      $v$ $$_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix},$$$v$ $$_2= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ \end{pmatrix},$$   $v$ $$_3= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$
   で定めると、 $v$ $_1,$$v$ $_2,$$v$ $_3$ は一次従属である。 $5$   $v$ $_1=$$v$ $_2$ であるからである。

上のように、具体的な数ベクトルが一次従属であるか否かを調べるときには、 成分に言及する必要がある。 $v$ $_1,$$v$ $_2,$   $v$ $_3$ が一次従属であるという事は、 最後のベクトル $v$ $_3$ が $v$ $_1,$$v$ $_2$ スカラー倍の和(線形結合)を用いて 書けるということにかなり近いが、最後の例のように例外も生じる。 そこで定義では最初から $v$ $_1,$$v$ $_2,\dots$   $v$ $_t$ に関して 対称な形で述べてあるのである。上の(2)で言えば、 $1.$$v$ $_1+6.$$v$ $_2-1.$$v$ $_3=0$ という調子である。

例 2.2  

   $v$ $$_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix},$$$v$ $$_2= \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$

とおくと、 $v$ $_1,$$v$ $_2$ は一次独立である。 実際、

$$c_1$$   $v$ $$_1 +c_2$$   $v$ $$_2 =$$0

とすると、

$$c_1 + 5 c_2 =0, \quad 2 c_1 + c_2=0$$

で、これを解くと $c_1=0,c_2=0$ を得るからである。

一次独立性、一次従属性を判定する場合にはうえのように一次方程式に 帰着させる。下の問題も参照のこと。

※レポート問題

問題 2.1  

   $v$ $$_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix},$$$v$ $$_2= \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 11 \end{pmatrix},$$   $v$ $$_3= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$

とおくと、 $v$ $_1,$$v$ $_2,$$v$ $_3$ は一次独立だろうか、 それとも一次従属だろうか。 理由を挙げて答えなさい。