線形代数学概論 A NO.4 要約

今日のテーマ一次写像と行列。

(本講義では、係数体 (スカラーの集合) としては実数体 ℝ を扱っています。が、 ℝ を他の体に変えてもほとんど同じことが成り立つので、余力のある人は注意しておくとよいでしょう。 )

線形空間を比較するには線形写像を用います。線形写像とは、和と、スカラー倍を保つような写像のことでした。 ℝ^{n} から他のベクトル空間 W への線形写像 f は基本ベクトルの行き先 {f(e_{1}), f(e_{2}), …, f(e_{n})} だけを決めれば定まるのでした。

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定義 4.1. ℝ^{n} から ℝ^{m} への線形写像 f が

f(e_{i}) = ( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj})

を満たすとき、 f は

A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ & … & … \\ & … & … \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix}) = (a_{ij})_{i,j}

という数字の並びによって一意に決まる。 A のことを f を表現する行列という。 (行列のサイズまで込めて言いたい時は、 (m, n)-行列とか m × n 行列、はたまた m 行 n 列の行列と呼ぶ。 ) 行列 A において、 a_{ij} を A の (i, j)-成分、縦の数の並びを列、横の数の並びを行という。

行と列を混乱しないように覚えるには、数学のノートを思い出せば良い。 1 行目、 2 行目、 3 行目 etc. が第 1 行、第 2 行、第 3 行 etc である。

命題 4.1. 行列 A に対して、 A の表現する線形写像は

x = (x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n}) ↦ Ax = ( a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} ; a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} ; ⋮ ; a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n})

で与えられる。 Ax のことを A と x との積とよぶ。

見れば分かるように、線形写像 (行列とベクトルの積) は定数項のない一次式で表される。したがって、線形写像のことを一次写像と呼ぶこともある。

命題 4.2. 線形写像の合成は線形写像である。

そこで、

定義 4.2. 行列の積を、対応する線形写像の合成で定義する。

具体的には、

命題 4.3. A = (a_{ij}), B = (b_{kl}) のときその積 AB は

(∑_{j} (a_{ij}b_{jk})_{ik})

により与えられる。

線形代数学概論 A NO.4 要約

※レポート問題問題 4.1. x, y, z, l, m, n は実数とする。このとき

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 & l & 1 \\ 0 & 1 & m & 2 \\ 0 & 0 & n & 3 \end{matrix})

を計算せよ。

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記法に関する補足。

(a_{ij})_{ij}

とは、 i, j 成分 (i 行 j 列にある数値) が a_{ij} の行列、という意味である。サイズは状況に応じて判断するとよい。例えば 2 × 3 行列 (2 行 3 列の行列) なら、

(a_{ij})_{ij} = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix})

という具合である。ここでの i や j という変数は全くのその場しのぎの変数であって、 (a_{ij})_{ij} と書いても (a_{uv})_{uv} と書いても全く同じ意味になる。