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線形代数学概論 A No.6要約

\fbox{今日のテーマ} 行列の演算。単位行列。ゼロ行列。

行列の計算(和、差、積、スカラー倍)は普通の数を計算するのと同じように計算できる。

但し、次のことだけが通常の数と異なるので注意を要する。

  1. サイズに注意。
    1. サイズの異なる行列の和や差は定義されない。
    2. $ k\times l$ 行列 $ A$$ m\times n$ 行列 $ B$ との積 $ AB$$ l=m$ のときのみ定義される。
  2. 行列の積は可換ではない。すなわち、行列 $ A$$ B$ にたいし、 $ AB$$ BA$ は、一方が定義されるからと言って他方が定義されるとは限らないし、 仮に両方が定義されている 場合であっても $ AB=BA$ とは限らない。

定義 6.1   ベクトル空間 $ V$ から同じベクトル空間への線形写像を線形変換という。 行と列のサイズが同じであるような行列を正方行列という。

正の整数 $ n$ にたいして、$ n\times n$ 行列の全体 $ M_{n,n}($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ のことを、 $ M_n($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ と書く。 $ M_n($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ の元同士はは、いつでも足したり、引いたり、 掛けたりできる。

◎単位行列

$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ への恒等写像 $ {\operatorname{id}}_V$ は線形写像である。 対応する行列は

$\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots 0 \\
0 & 1 & 0 & \dots 0 \\
0 & 0 & 1 & \dots 0 \\
&\dots \\
&\dots \\
0 & 0 & 0 & \dots 1 \\
\end{pmatrix}$

と、対角に $ 1$ が並ぶ行列である。これを単位行列と言い、 $ E_n$ とか $ 1_n$ で 書き表す。

◎ゼロ行列

$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ の任意の元 $ \mathbbm v$ にたいし、 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^m$ の元 $ \bf0$ (ゼロベクトル) を対応する写像は線形写像である。 対応する行列は

$\displaystyle \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \dots 0 \\
0 & 0 & 0 & \dots 0 \\
0 & 0 & 0 & \dots 0 \\
&\dots \\
&\dots \\
0 & 0 & 0 & \dots 0 \\
\end{pmatrix}$

と、すべての成分が 0 であるような行列である。これをゼロ行列と言い、 $ O$ とか $ O_{m,n}$ で 書き表す。

単位行列は $ 1$ の、ゼロ行列は 0 の役割を果たす。

◎行列単位

$ ij$ 成分のみが $ 1$ で、あとはすべて 0 であるような行列のことを、 行列単位といい、$ E_{ij}$ で書き表す。

$\displaystyle (a_{ij})_{ij}=\sum_{i,j} a_{ij} E_{ij}
$

\begin{displaymath}
E_{ij} \mathbbm e_k=
\begin{cases}
\mathbbm e_i & \text{$j=k...
...き。} \\
\mathbbm 0 & \text{それ以外の時}
\end{cases}\end{displaymath}

◎クロネッカーのデルタ。

次のような記号を用いると便利であることが多い。 (クロネッカーのデルタ)

\begin{displaymath}
\delta_{ij} =
\begin{cases}
1 & \text{$i=j$ のとき。} \\
0 & \text{それ以外の時}
\end{cases}\end{displaymath}

これを用いると、

$\displaystyle E=(\delta_{ij})_{ij}
$

$\displaystyle E_{ij} \mathbbm e_k= \delta_{ j k} \mathbbm e_i
$

と、場合分けをいちいち書かずに済む。

問題 6.1  
  1. $ 3\times 3$ 行列

    % latex2html id marker 936
$\displaystyle P=
\begin{pmatrix}
1 & p & q \\
0 & 1 & r \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

    を行列単位 $ E_{ij}$ の線形結合として書き表しなさい。
  2. 上の $ P$ に対して、

    $\displaystyle \begin{pmatrix}
x & y & z\\
a & b & c
\end{pmatrix}P
$

    を計算しなさい。



2013-05-20