線形代数学概論 A NO.8 要約

行列は普通の数のように、足したり引いたり掛けたりできるのでした。行列をブロックに区分けすることにより、計算を簡単にすることができる場合がありました。

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今日のテーマ行列の基本変形

定義 8.1 (基本行列).

P_{n}(ij; c) = E_{n} + cE_{ij} (i ≠ j)

Q_{n}(i; c) = (E_{n} の i 列を c 倍した行列) (c ≠ 0) R_{n}(i, j) = (E_{n} の i 列と j 列を入れ替えた行列)

• この定義の記号は (教科書とは合わせてあるが)、ここだけのものである。 • 上の定義で「列」を「行」に変えても全く同じ行列を得る。

• スペースの関係で、例は一番最後にあげる。 ”...” を用いた一般の場合の書

き方については、講義か、教科書を参照のこと。

◎置換と置換行列

上の P_{n} は「シフト」の一般化。 Q_{n} は対角行列である。 R_{n} については新しく出てきた。これは「置換行列」と見るのが自然である。これを説明しよう。

定義 8.2. 一般に、 {1, 2, …, n} の順番を並べ替えたものを n 個の元の置換という。これは {1, 2, …, n} からそれ自身への全単射 σ をあたえて、 (σ(1), σ(2), …, σ(n)) という並びを考えるというのと同じ事である。そこで、以下では置換と言えばそのような σ のことであると考えることにする。

定義 8.3. n 個の元の置換 σ にたいし、

P_{σ} = (𝕖_{σ(1)} 𝕖_{σ(2)} … 𝕖_{σ(n)})

なる行列のことを σ に対応する置換行列と呼ぶ。

定義 8.4. i, j ∈ {1, 2, …, n} (i ≠ j) に対し、 i と j を入れ替えるような置換のことを (i と j の) 互換とよび、 (i j) で書き表す。すなわち、 (i j) とは、次のような置換 τ のことである。

τ(k) = \begin{cases}j & (k = i のとき) \\ i & (k = j のとき) \\ k & (上記以外のとき。 \end{cases}

置換行列の言葉を用いれば、 R_{n}(ij) は互換 (i j) に対応する置換行列と言うことになる。

◎右基本変形

与えられた行列 A (正方行列と限らない) にたいし、基本行列 (これは正方行列) を右からいくつかかけることにより、 A と同じサイズの新しい行列を作ることができる。この操作を右基本変形という。

右基本変形は、基本ベクトルの行き先をみることで理解することができる。

命題 8.1. A を m × n 行列 (m 行 n 列の行列) とするとき、

(1) AP_{n}(i, j; c) は A の i 列の c 倍を A の j 列に加えた行列である。

(2) AQ_{n}(i; c) は A の j 列を c 倍した行列である。

(3) AR_{n}(i, j) は A の i 列と j 列を入れ替えた行列である。

次のことも基本的である。

命題 8.2. 基本変形は可逆な操作である。それに呼応して、基本行列は可逆な行列である。

「大抵の」正方行列 A は右基本変形を連続して行うことにより単位行列 E_{n} に変形できる。つまり、基本行列 Y_{1}, Y_{2}, …, Y_{s} があって、

AY_{1}Y_{2}Y_{3} … Y_{s} = E_{n}.

そこで B = Y_{1}Y_{2}Y_{3} … Y_{s} とおけば、 AB = E_{n} である。 B は逆行列を持つので、 B が A の逆行列であることがわかる。つまり、 A にどんな右基本変形をすれば E_{n} になるかを詳細に記録すれば、 A の逆行列が計算できる。右基本変形をいちいち記録しておくのは面倒である。次のようなトリックを用いるとよい。

命題 8.3. n 次正方行列 A にたいして、それを E_{n} の上に積み上げた行列

Â = (\begin{matrix}A \\ E_{n} \end{matrix})

を考える。もし、 Â に右基本変形を繰り返して”上の部分”が E_{n}, すなわち

(\begin{matrix}E_{n} \\ B \end{matrix})

のかたちとなったとすると、 ”下の部分”の B の部分が A の逆行列である。

問題 8.1. x, y, z はどの２つも相異なるような実数とする。このとき、

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 9 & 16 \end{matrix})

に基本変形を繰り返して E_{3} に変形せよ。 (余力があれば、 A の逆行列をもとめよ。 )

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例 8.1. (n = 3 の基本行列)

P_{3}(1, 2; c) = (\begin{matrix}1 & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , P_{3}(1, 3; c) = (\begin{matrix}1 & 0 & c \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , P_{3}(2, 3; c) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ,

他に成分が下半分にくるタイプももちろんあるが、スペースの関係で省略する。

Q_{3}(1, c) = (\begin{matrix}c & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , Q_{3}(2; c) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , Q_{3}(3; c) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & c \end{matrix}) ,

R_{3}(1, 2) = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , R_{3}(1, 3) = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) , R_{3}(2, 3) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})