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線形代数学概論 A No.11要約

行列 $ A$ の分解 $ A=P F_{m,n}(r)Q$ は 「どのベクトルを活かすか」、「どのベクトルは潰すか」を 決めていると考えることができるのでした。 $ A:$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n\to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^m$ の定義域 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ のうち、$ r$ 個(の一次独立な)ベクトルが 生き残り、残りの $ k=n-r$ 個(の一次独立な)ベクトルが潰れます。 (等式 $ n=k+r $ は「次元定理」として知られています。)

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\fbox{今日のテーマ}

正則行列とその逆行列。

命題 11.1   正方行列 $ A\in M_n($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ が正則であることは $ A$ の両側基本変形に関する 標準形が $ E_n$ であることと同値であり、これはまた $ A$ の階数が $ n$ (つまり $ A$ のサイズ)と等しいこととも同値である。

命題 11.2   正方行列 $ A$ が正則ならば、それは基本行列のいくつかの(有限個の)積として 書き表せる。

正方行列 $ A$ の逆行列を求めるには、つぎの3つの方針がある。

  1. $ \begin{pmatrix}A \\ E \end{pmatrix}$ に列基本変形をおこなって、 上側が単位行列に等しくなった時の下側を見る。
  2. $ \begin{pmatrix}A& E \end{pmatrix}$ に行基本変形をおこなって、 左側が単位行列に等しくなった時の右側を見る。
  3. $ \begin{pmatrix}A& E \\ E & 0 \end{pmatrix}$ に、 上 $ n$ 行まで、左 $ n$ 列までに限定して。両側基本変形をおこなう。
最後のやり方は少し凝っている。教科書のp.55表による処理も参照のこと。

逆行列は連立方程式を解くのにも使える。

例 11.1   連立方程式

\begin{equation*}
\left \{
\begin{aligned}
&x + y=10 \\
&2 x + 4 y =34
\end{aligned}\right .
\end{equation*}

を解け。

(答)

$\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
10 \\ 34
\end{pmatrix}$

を満たす $ x,y$ を探せばよい。両辺に $ \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4
\end{pmatrix}$ の逆行列を左からかけて、

$\displaystyle \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2...
...}\begin{pmatrix}
10 \\ 34
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3 \\ 7
\end{pmatrix}.
$

◎連立方程式と行基本変形。 上の例の方程式を解くには、(高校時代の言葉では)「加減法」を用いれば 良いのであった。

ここでは、(教科書に合わせて)線形方程式の基本変形という言葉を用いることにする。 じつは、線形方程式の基本変形は行列の左基本変形(行基本変形)と対応する.

11.1のように解がひとつだけ決まるような 連立方程式は気持ちがいいが、解が複数あったり、ひとつもなかったりするような 方程式も扱う必要が生じる。 たとえば、ベクトルの一次従属性を判定するためにも必要になるのであった (No.3参照)。 具体的には、 ベクトル

$\displaystyle \mathbbm v_1=
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
\end{pmatrix},\mathbbm ...
...\
4 \\
\end{pmatrix},
\mathbbm v_4=
\begin{pmatrix}
5 \\
6 \\
\end{pmatrix}$

の一次従属性を判定するためには、

\begin{equation*}
\left \{
\begin{aligned}
&\phantom{1}c_1 \phantom{+ 0 c_2}+ 3 c_3 + 5c_4 =0\\
&2 c_1 + c_2 +4 c_3 + 6c_4=0
\end{aligned}\right .
\end{equation*}

という方程式を解くのであった。

このような方程式についても、基本変形について議論できる。詳しくは次回(の予定。)

問題 11.1   以下の2つの問に答えなさい。
  1. 行列

    $\displaystyle A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}$

    の逆行列を求めよ。行基本変形、列基本変形の いずれを用いても良いが、求め方も明記すること。
  2. 連立方程式

    \begin{equation*}
\left \{
\begin{alignedat}{5}
&x&+ &y&+ &z&+ & w &=1\\
&x&+...
...& & & &=3\\
3&x&+ &y&+ 2 &z&+ & w &=4\\
\end{alignedat}\right.
\end{equation*}

    を前問の逆行列を用いてとけ。



2013-06-21