線形代数学概論 A No.15要約

行列式

二次行列の場合

命題 15.1   単位正方形 $[0,1]\times [0,1]$ は、行列

$$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

によって面積がそれぞれ $\vert ab\vert$ 倍、等倍される。

単位正方形の面積が線形変換 $L$ で何倍になるかを表すのが、$L$ の 行列式 ( $\operatorname{det}(L)$ ) である。ただし、$L$ によって向きが変わるか否かによって $\operatorname{det}(L)$ には符号がつく。 定義から、

$$\operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)$$

が成り立つ。

補題 15.1   一般の二次行列の行列式は

$$\operatorname{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad -bc$$

と与えられる。

3次以上の行列についても、その行列式が同様に定義される。

定義 15.1   $\{1,2,3,\dots,n\}$ からそれ自身への全単射を ($n$ 次の)置換と呼ぶ。 $n$ 次の置換の全体を $\frak S_n$ で書き表す。

置換 $\sigma$ には置換行列 $P_{\sigma}$ がつきものであった。その行列式を $\sigma$ の符号とよび、 $\operatorname{sgn}(\sigma)$ で表す。

補題 15.2   任意の置換は、互換の積である

命題 15.2   一般の $n$ 次正方行列について、その行列式は以下で与えられる。

$$\operatorname{det}(a_{ij}) = \sum_{\sigma \in \frak S_n} \operat... ...(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} a_{3 \sigma(3)} \dots a_{n \sigma(n)}$$

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置換についての補遺。

置換

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}$$

は、 $1,2,3,4$ がそれぞれ《変身》して $3,1,2,4$ になると 言う操作であって、これを、

$$a(1)=3, a(2)=1,a(3)=2,a(4)=4$$

というようにも書く。

二つの置換の結合(演算)は通常《後ろから読》む。たとえば、

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}$$

の掛け算 $ab$ は、

$$ab= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}\begin{pmatr... ...&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 4&2&3&1 \end{pmatrix}$$

つまり、例えば $1$ は $b$ で $3$ に化けて、次に $a$ で $3$ は $4$ に化けるので、 結果として $1$ は $ab$ によって $4$ に化けることになる。

いくつかの元 $\{a_1,a_2,\dots, a_r\}$ を順繰りに変える置換、すなわち

$$\begin{pmatrix} a_1 & a_2& \dots & a_{r-1} &a_r \\ a_2 & a_3& \dots & a_r &1 \end{pmatrix}$$

のことを (長さ $r$ の)巡回置換と呼び、 $(a_1,a_2,\dots a_r)$ と書き表す。

長さ $2$ の巡回置換のことを互換と呼ぶ。例えば、$(7\ 20)$ は, $7$ と $20$ とを入れ換える置換である。