線形代数学概論 A NO.16

試験

• 持ち込みは何でも可である。ただし、他人の迷惑になるもの、および通信機能をもつものを除く。

• 解答用紙には必ず学生番号と名前を記入すること。

• 解答用紙の裏面を用いてもよいが、その場合にはそれが分かるように明記すること。

• 言うまでもないことだが、数値的な答だけでは十分ではない。論理的な説明がより重要である。

• 成績は理学部 2 号棟 6F 数学コース掲示板において確認できるようにする。掲示があるまでは成績の照会等には応じられない。

問題 16.1. 次の各問に答えなさい。 (1) ℝ^{3} のベクトル 𝕧_{1}, 𝕧_{2}, 𝕧_{3} を

𝕧_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , 𝕧_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) , 𝕧_{3} = (\begin{matrix}−2 \\ −1 \\ 0 \end{matrix})

で定義する。このとき 𝕧_{1}, 𝕧_{2}, 𝕧_{3} は一次独立だろうか、それとも一次従属だろうか。理由をつけて答えなさい。

(2) ℝ^{3} のベクトル 𝕨_{1}, 𝕨_{2}, 𝕨_{3} を

𝕨_{1} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , 𝕨_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , 𝕨_{3} = (\begin{matrix}3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})

で定義する。このとき 𝕨_{1}, 𝕨_{2}, 𝕨_{3} を並べてできる行列 P = (𝕨_{1} 𝕨_{2} 𝕨_{3} ) の逆行列を求めなさい。

(3) (2) の 𝕨_{1}, 𝕨_{2}, 𝕨_{3} をそれぞれ順に (1) の 𝕧_{1}, 𝕧_{2}, 𝕧_{3} に写すような行列 A を求めなさい。

(4) (3) の A の核を求めなさい。

(5) (3) の A と (1) の 𝕧_{1}, 𝕧_{2} にたいして、 A𝕩 = 𝕧_{1} + 3𝕧_{2} を満たすような 𝕩 ∈ ℝ^{3} をすべて見つけなさい。

線形代数学概論 A NO.16

解答。 (1)

3𝕧_{1} − 𝕧_{2} + 𝕧_{3} = 0

だから、 𝕧_{1}, 𝕧_{2}, 𝕧_{3} は一次従属。 (2)

P^{−1} = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & −3 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} )

(3)

A = (𝕧_{1} 𝕧_{2} 𝕧_{3})P^{−1} = ( \begin{matrix}5 & 1 & −5 \\ 8 & 1 & −7 \\ 11 & 1 & −9 \end{matrix} )

(4) 𝕩 = (\begin{matrix}3 \\ −1 \\ 1 \end{matrix}) とおく。 (1) により、 (𝕧_{1} 𝕧_{2} 𝕧_{3})𝕩=0. もっ

とつよく、 ℝ𝕩 = Ker(𝕧_{1} 𝕧_{2} 𝕧_{3}) が分かる。よって、

Ker(A) = ℝP 𝕩 = ℝ (\begin{matrix}2 \\ 5 \\ 3 \end{matrix})

(5)

𝕩 = 𝕨_{1} + 3𝕨_{2} + c (\begin{matrix}2 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix}3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) + c (\begin{matrix}2 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) (c ∈ ℝ)