代数学 II 要約 NO.3

第 3 回目の主題 :

R-加群の部分加群と商加群・ R-加群の準同型定理

補題 3.1. 環 R と R-加群 M が与えられているとする。 M の部分集合 S に対して、次のことは同値である。

(1) S を含む M の部分加群は M 自身しかない。

(2) M = {∑_{有限和}r_{i}s_{i}; r_{i} ∈ R, s_{i} ∈ R}

定義 3.2. S がうえの補題の性質を満たすとき、「S は M を生成する」という。

補題 3.3. 環 R と R-加群 M, および M の R-部分加群 N が与えられているとする。このとき、商加群 M/N には R-加群の構造が自然に入る。

この M/N のことを M の N による商 R-加群という。

命題 3.4. 環 A と、 A 上の行列 (a_{ji})_{i∈I,j∈J} が与えられていて、次のような条件を満たすとする。 (条件): 各 j ∈ J に対して、 a_{ji} ≠ 0 なる i ∈ I はたかだか有限個しかない。

このとき、 A-加群 M とその元 {m_{i}}_{i∈I} の組 (M, {m_{i}}) に関する次の条件を考える。 (GR1) M は {m_{i}}_{i∈I} で生成される。 (GR2) 任意の j ∈ J に対して、関係式 ∑_{i} a_{ji}m_{i} = 0 をみたす。

このとき、 A-加群 M_{0} とその生成元 {m_{i}^{(0)}} で次のようなものが同型を除いてただひとつ存在する。

(1) (M_{0}, {m_{i}^{(0)}} は (GR1),(GR2) をみたす。

(2) もし、 (M_{1}, {m_{i}^{(1)}} も (GR1),(GR2) を満たすとすると、 M_{0} から M_{1} への A-準同型 φ であって、 φ(m_{i}^{(0)}) = m_{i}^{(1)} をみたすものが存在する。

注意 3.5. 上の (2) で、 φ はただひとつ定まり、しかも全射であることがすぐに分かる。

定義 3.6. 上の命題で定まる M_{0} のことを、関係式

∑_{j} a_{ji}m_{i} = 0

で定義される A-加群と呼ぶ。