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代数学II要約 No.3

第3回目の主題 :

\fbox{$R$-加群の部分加群と商加群・$R$-加群の準同型定理}

補題 3.1   環 $ R$$ R$ -加群 $ M$ が与えられているとする。$ M$ の 部分集合 $ S$ に対して、次のことは同値である。
  1. $ S$ を含む $ M$ の部分加群は $ M$ 自身しかない。
  2. $ M=\{\sum_{\text{有限和}} r_i s_i; r_i \in R , s_i \in R\}$

定義 3.2   $ S$ がうえの補題の性質を満たすとき、「$ S$$ M$ を生成する」という。

補題 3.3   環 $ R$$ R$ -加群 $ M$ , および $ M$$ R$ -部分加群 $ N$ が与えられているとする。 このとき、商加群 $ M/N$ には $ R$ -加群の構造が自然に入る。

この $ M/N$ のことを $ M$$ N$ による商 $ R$ -加群という。

命題 3.4   環 $ A$ と、$ A$ 上の行列 $ (a_{j i})_{i\in I, j\in J}$ が与えられていて、 次のような条件を満たすとする。

(条件): 各 $ j\in J$ に対して、 % latex2html id marker 857
$ a_{j i}\neq 0 $ なる $ i\in I$ は たかだか有限個しかない。

このとき、 $ A$ -加群 $ M$ とその元 $ \{m_i\}_{i\in I}$ の組 $ (M,\{m_i\})$ に関する次の条件を考える。

(GR1).
$ M$ $ \{m_i\}_{i\in I}$ で生成される。
(GR2).
任意の $ j\in J$ に対して、 関係式 $ \sum_i a_{j i} m_i=0 $ をみたす。

このとき、$ A$ -加群 $ M_0$ とその生成元 $ \{m_i^{(0)}\}$ で次のようなものが同型を除いてただひとつ存在する。

  1. $ (M_0,\{m_i^{(0)}\}$ は (GR1),(GR2)をみたす。
  2. もし、 $ (M_1, \{m_i^{(1)}\}$ も (GR1),(GR2)を満たすとすると、 $ M_0$ から $ M_1$ への $ A$ -準同型 $ \varphi$ であって、 $ \varphi(m_i^{(0)})=m_i^{(1)}$ をみたすものが存在する。

注意 3.5   上の(2)で、$ \varphi$ はただひとつ定まり、しかも全射であることがすぐに分かる。

定義 3.6   上の命題で定まる $ M_0$ のことを、 関係式

$\displaystyle \sum_j a_{j i} m_i =0
$

で定義される $ A$ -加群と呼ぶ。



2013-04-24