代数学 II 要約 NO.4

第 4 回目の主題 : 加群の準同型定理

「群の準同型定理」、「環の準同型定理」については既知であろう。 A-加群の準同型定理も全く同様に定式化され、証明される。それらのもとになるのは次の考え方である。

命題 4.1. (集合の準同型定理) 集合の間の写像 f : X → Y が与えられたとする。このとき、

(1) X の上のクラスわけ (同値律) が、

x ∼_{f} y  ⇔  f(x) = f(y)

により定義される。 (このクラスわけによる x のクラスをここでは [x]_{f} と書こう。 )

(2) X を上記のクラスわけによりクラスわけしたクラスの全体を X/ ∼_{f} と書くと、 f は

f̄: (X/ ∼_{f}) ∋ [x]_{f} ↦ f(x) ∈ f(X) なる写像を誘導する。この写像は、 (うまく定義されており、 ) 全単射である。

(3) f は次のように全射、全単射、単射の合成に分解される。

X ⟶^{f} Y
(自然な射影)↓  ↑^{(自然な埋め込み)}
(X/ ∼_{f}) ⟶^{f̄} f(X)

定理 4.2. (加群の準同型定理) 環 A と、 A-加群の準同型 f : M → N が与えられているとする。このとき、

(1) f の核 Ker(f) = f^{−1}(0) は M の A-部分加群である。 f の像 f(M) は N の A-部分加群である。

(2) f は、 A-加群の同型 f̄: M/ Ker(f) → f(M) を定義する。

(3) f は次のように A-加群の全射準同型、全単射準同型、単射準同型の合成に分解

する。

M  ⟶^{f} N
(自然な射影)↓  ↑^{(自然な埋め込み)}
(M/ Ker(f)) ⟶^{f̄} f(M)

つぎのことに気をつけよう

• 単なる集合の場合に比べて加群の場合には「和、差、スカラー倍」という構造を考慮に入れる必要がある。

• f が加群の準同型のときには「 f によるクラスわけ」は Ker(f) で完全に制御される。

例題 4.3. f : ℤ/12ℤ → ℤ/14ℤ を f([n]_{12}) = [7n]_{14} で「定義」する。このとき (1) これはうまく定義されていて、 ℤ-加群の準同型であることをしめしなさい。

(2) 次の対応表の下段を埋めなさい。 (なるべく簡単な形にすること)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
f(x)

(3) f によって ℤ/12ℤ はどのようにクラス分けされるか、「クラス分けの表」を書き上げることによって示しなさい。

代数学 II 要約 NO.4

◎有限生成加群定義 4.4. A-加群 M が有限個の元で生成されるとき、 M を A 上の有限生成加群と呼ぶ。例 4.5. ℝ^{2} は有限生成 ℝ-加群だが、 ℤ-加群としては有限生成ではない。補題 4.6. A-加群 M が有限個の元 m_{1}, m_{2}, …, m_{s} で生成されるとき、

(1) 写像

φ : A^{s} ∋ (a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{s}) ↦ ∑_{i=1}^{s} a_{i}m_{i}

は A-加群の全射準同型である。 (2) M ≅ A^{s}/ Ker(φ) . ** 一般に、 M の A-加群としての生成元 {m_{λ}}_{λ∈Λ} をとれば、全射 A-準同型

φ : A^{⊕Λ} ∋ (a_{λ})_{λ∈Λ} ↦ ∑_{λ} a_{λ}m_{λ}

が定義されて、 M は自由加群の剰余加群として表現されることが分かる。 **