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代数学II要約 No.4

第4回目の主題 : \fbox{加群の準同型定理}

「群の準同型定理」、「環の準同型定理」については既知であろう。 $ A$ -加群の準同型定理も全く同様に定式化され、証明される。 それらのもとになるのは次の考え方である。

命題 4.1 (集合の準同型定理)   集合の間の写像 $ f:X\to Y$ が与えられたとする。このとき、
  1. $ X$ の上のクラスわけ(同値律)が、

    % latex2html id marker 936
$\displaystyle x\sim_f y \qquad {\Leftrightarrow}\qquad f(x)=f(y)
$

    により定義される。 (このクラスわけによる $ x$ のクラスをここでは $ [x]_f$ と書こう。)
  2. $ X$ を上記のクラスわけによりクラスわけしたクラスの全体を $ X/\sim_f$ と 書くと、$ f$

    $\displaystyle \bar f: (X/\sim_f) \ni [x]_f \mapsto f(x) \in f(X)
$

    なる写像を誘導する。この写像は、(うまく定義されており、)全単射である。
  3. $ f$ は次のように全射、全単射、単射の合成に分解される。

    ALT=(自然な射影)$\displaystyle VV @AA$(自然な埋め込み)$\displaystyle A \\
(X/\sim_f) @> \bar f » f(X)
\end{CD}$

定理 4.2 (加群の準同型定理)   環 $ A$ と、$ A$ -加群の準同型 $ f:M\to N$ が与えられているとする。このとき、
  1. $ f$ の核 $ \operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(0)$$ M$$ A$ -部分加群である。

    $ f$ の像 $ f(M)$$ N$$ A$ -部分加群である。

  2. $ f$ は、$ A$ -加群の同型 $ \bar f: M/\operatorname{Ker}(f) \to f(M)$ を定義する。
  3. $ f$ は次のように $ A$ -加群の全射準同型、全単射準同型、単射準同型の 合成に分解する。

    (自然な射影)$\displaystyle VV @AA$(自然な埋め込み)

つぎのことに気をつけよう

問題 4.1   $ f([n]_{12})=[7 n]_{14}$ で「定義」する。 このとき
  1. これはうまく定義されていて、 -加群の準同型であることをしめしなさい。
  2. 次の対応表の下段を埋めなさい。(なるべく簡単な形にすること)
    $ x$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
                           
  3. $ f$ によって はどのようにクラス分けされるか、「クラス分けの 表」を書き上げることによって示しなさい。

◎有限生成加群

定義 4.3   $ A$ -加群 $ M$ が有限個の元で生成されるとき、 $ M$$ A$ 上の有限生成加群と呼ぶ。

例 4.4   は 有限生成 -加群だが、 -加群としては有限生成ではない。

補題 4.5   $ A$ -加群 $ M$ が有限個の元 で生成されるとき、
  1. 写像

    $ A$ -加群の全射準同型である。
  2. .

** 一般に、$ M$$ A$ -加群としての生成元 を とれば、全射 $ A$ -準同型

が定義されて、$ M$ は自由加群の剰余加群として表現されることが分かる。 **


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2013-05-09