代数学 II 要約 NO.5

第 5 回目の主題 : 有限生成加群と自由加群の間の準同型 ◎有限生成加群 (再掲) 定義 5.1. A-加群 M が有限個の元で生成されるとき、 M を A 上の有限生成加群と呼ぶ。例 5.2. ℝ^{2} は有限生成 ℝ-加群だが、 ℤ-加群としては有限生成ではない。補題 5.3. A-加群 M が有限個の元 m_{1}, m_{2}, …, m_{s} で生成されるとき、

(1) 写像

φ : A^{s} ∋ (a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{s}) ↦ ∑_{i=1}^{s} a_{i}m_{i}

は A-加群の全射準同型である。

(2) M ≅ A^{s}/ Ker(φ) .

** 一般に、 M の A-加群としての生成元 {m_{λ}}_{λ∈Λ} をとれば、全射 A-準同型

φ : A^{⊕Λ} ∋ (a_{λ})_{λ∈Λ} ↦ ∑_{λ} a_{λ}m_{λ}

が定義されて、 M は自由加群の剰余加群として表現されることが分かる。 **

自由加群から一般の加群への準同型は次のように「生成元の行き先」で定まる。

命題 5.4. 環 A 上の加群 M にたいして、 (1) M の元 m_{1}, m_{2}, …, m_{k} が与えられたとき、 A^{⊕k} から M への A-準同型 φ が

φ((a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{k})) = ∑_{j=1}^{k} a_{j}.m_{j}

により定まる。

(2) A^{⊕k} から M への A-準同型は、上のような形のものに限る。系 5.5. 環 A 上の加群 M にたいして、 M が k 個の元 {m_{1}, m_{2}, …, m_{k}} で生成されるならば、

(1) 上記の命題のようにして全射 A-準同型 ψ : A^{⊕k} → M が定まる。

(2) さらに、 Ker(ψ) も有限個の元で生成されるならば、適当な A 準同型

f : A^{⊕k′} → A^{⊕k}

があって、 M は f の余核 A^{⊕k}/ Image(f) と同型になる。 (このような M のことを有限表示をもつ A 加群という。 )

うえのことは、 M が適当な有限性の条件を満足すれば (つまり、有限表示を持てば)、 M は上のような準同型の余核として得られることを示している。

命題 5.6. A は可換環であるとする。このとき、 A^{⊕k} から A^{⊕l} への任意の A-準同型 φ は、

φ((a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{k})) = (\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & … & c_{1k} \\ c_{21} & c_{22} & … & c_{2k} \\ … \\ c_{l1} & c_{l2} & … & c_{lk} \end{matrix}) (a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{k})

と書ける。