代数学 II 要約 NO.6

第 6 回目の主題 : PID 上の有限生成加群の構造 (1)

次のことをこの講義からしばらくの間の目標にしよう。

定理 6.1. PID A 上の有限生成加群は必ず A/(a) の形の加群の直和である。

言葉の確認から:

可換環 A は、 0 以外に零因子を持たないとき整域と呼ばれるのでした。定義 6.2. 整域 A が PID (principal ideal domain, 主イデアル整域) であるとは、 A の任意のイデアルがひとつの元で生成されるときにいう。

「余りを許した割り算」が必ずできるような整域のことをユークリッド整域と呼ぶのでした。

次の定理は代数 IB で学習済みのことと思います。

定理 6.3. ユークリッド整域は必ず PID である。定理 6.4. PID はかならず UFD である。すなわち、素因数分解の一意性が成り立つ。

これらの諸定理から、次のことがすぐに分かる。命題 6.5. PID A 上の加群が、ひとつの元で生成されるなら、それは A/Aa (∃a ∈ A) の形の加群と同型である。補題 6.6. PID A 上の加群 M が 2 つの元 m_{1}, m_{2} で生成されているとし、

a_{1}m_{1} + a_{2}m_{2} = 0

なる関係式が成り立っていたとする。このとき、次のような m′_{1}, m′_{2} が存在する。

(1) m′_{1}, m′_{2} は M の生成元である。

(2) dm′_{1} = 0. (ただし d は a_{1} と a_{2} の最大公約元。 ) 命題 6.7. 可換 PID A の元 a, b に対して、イデアル Aa + Ab はある単項イデアル Ad と等しい。このとき、ある a′, b′, x, y が存在して、次の二式が成り立つ。

(1) a = a′d, b = b′d.

(2) a′x + b′y = 1. とくに、

(\begin{matrix}a′ & b′ \\ −y & x \end{matrix})

は SL_{2}(A)(⊂ GL_{2}(A)) の元である。命題 6.8. 可換 PID A のイデアルの増加列

I_{1} ⊂ I_{2} ⊂ I_{3} ⊂ I_{4} ⊂ …

は必ず有限で止まる。すなわち、ある N があって、

I_{N} = I_{N+1} = I_{N+2} = …

が成り立つ。